Mengapa autokorelasi mencapai puncaknya di nol?

Saya tahu bahwa pergeseran nol pada fungsi autokorelasi sama dengan energinya, namun, saya ingin memahami mengapa puncaknya berada pada nol.

Apakah Anda mencari bukti formal atau intuisi di balik ini? Dalam kasus selanjutnya: "Tidak ada yang lebih mirip dengan fungsi daripada dirinya sendiri". Autokorelasi pada lag mengukur kesamaan antara fungsi dan fungsi yang sama digeser oleh . Perhatikan bahwa jika adalah periodik, bergeser oleh kelipatan bilangan bulat mana pun dari dan bertepatan, sehingga autokorelasi memiliki bentuk sisir - dengan puncak pada kelipatan bilangan bulat dari periode dengan tinggi yang sama dengan puncak pusat.f τ f f $\tau$$f$$\tau$$f$$f$$\tau$$f$

Fungsi autokorelasi dari sinyal energi terbatas waktu diberikan oleh untuk masing-masing sinyal nyata dan sinyal kompleks. Membatasi diri kita pada sinyal nyata untuk memudahkan eksposisi, mari kita pertimbangkan puncak . Untuk penundaan tetap dan diberikan , biasanya akan memiliki nilai positif atau negatif. Jika kebetulan bahwa untuk penundaan tertentu , adalah tidak negatif untuk semua , maka semua istilah dalam jumlah akan bertambah (tidak ada pembatalan) dan begitu juga

$$R_x[n] = \sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]x[m-n]~~~~ \text{or}~~~ R_x[m] = \sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m](x[m-n])^*$$ $x[m]x[m-n]$$n$$m$$x[m]x[m-n]$$n$$x[m]x[m-n]$$m$$R_x[n]$x [ m - n ] x [ m ] x [ m - n ] x [ m ] x x [ m ] = { sin ( 0,1 π m )dijamin memiliki nilai positif. Faktanya, penjumlahan akan menjadi terbesar jika semua puncak dalam sejajar dengan puncak dalam dan lembah dalam sejajar dengan lembah dalam . Misalnya, jika adalah fungsi sinc sampel berlebih, katakanlah, dengan puncak di dan lembah di , maka akan memiliki maksimum pada (dan dengan token yang sama, akan memiliki$x[m-n]$$x[m]$$x[m-n]$$x[m]$$x$ $$x[m] = \begin{cases} \frac{\sin(0.1 \pi m)}{0.1 \pi m}, & m \neq 0,\\ 1, & m = 0\end{cases}$$ $m = 0, \pm 25, \pm 45, \ldots$$\pm 15, \pm 35, \pm 55, \ldots$ $x(t)$$R_x[n]$n=0,±25,±45,...n=±15,±$n = 0, \pm 25, \pm 45, \ldots$minima pada ketika puncak berbaris dengan lembah). The global yang maksimal jelas di delay ketika puncak tertinggi di dan bersamaan. Memang, kesimpulan ini berlaku tidak hanya untuk sinyal tulus ini tetapi juga untuk sinyal apa pun . Pada lag , kita memiliki dan kami dijamin tidak hanya semua puncak dan lembah yang berjajar masing-masing lainnya (tidak masalah di mana ini terjadi dalam ) tetapi juga bahwa puncak tertinggi dan lembah terdalam berbaris dengan tepat.$n = \pm 15, \pm 35, \pm 55, \ldots$R x [ n ] n = 0 x [ m ] x [ m - n ] n = 0 R x [ 0 ] = ∞ ∑ m = - ∞ ( x [ m ] ) 2 x [ m ]$R_x[n]$$n = 0$$x[m]$$x[m-n]$ $n = 0$ $$R_x[0] = \sum_{m=-\infty}^\infty (x[m])^2$$ $x[m]$

Lebih formal lagi, untuk pedant seperti @JohnSmith yang menuntut bukti formal, Cauchy Inequality mengatakan bahwa untuk urutan bernilai kompleks dan , Membatasi diri pada urutan bernilai nyata hanya untuk kemudahan eksposisi, versi yang lebih rinci mengatakan bahwa mana persamaan berlaku pada batas atas (bawah) jika ada angka positif (negatif) sehingga , (yaitu,$u$$v$

$$\left|\sum_m u[m](v[m])^*\right|^2 \leq \sum_m |u[m]|^2 \sum_n |v[m]|^2.$$ $$-\sqrt{\sum_m \left(u[m]\right)^2 \sum_m \left(v[m]\right)^2} \leq \sum_m u[m]v[m] \leq \sqrt{\sum_m \left(u[m]\right)^2 \sum_m \left(v[m]\right)^2}$$ $\lambda$$u = \lambda v$$u[m]=\lambda v[m] ~ \forall m$ dimana ( )). Menyadari bahwa jumlah di dalam akar kuadrat adalah energi dan dari urutan, kita dapat menulis bahwa Pengaturan dan mana adalah bilangan bulat, kita memiliki itu dan mengenali itu sekarang$\lambda > 0$$\lambda < 0$$\mathcal E_u$$\mathcal E_v$ $$-\sqrt{\mathcal E_u \mathcal E_v} \leq \sum_m u[m]v[m] \leq \sqrt{\mathcal E_u \mathcal E_v}$$ $u[m] = x[m]$$v[m] = x[m-n]$$n$ $$-\sqrt{\sum_m \left(x[m]\right)^2 \sum_m \left(x[m-n]\right)^2} \leq R_x[n] \leq \sqrt{\sum_m \left(x[m]\right)^2 \sum_m \left(x[m-n]\right)^2}$$ $\mathcal E_u = \mathcal E_v = \mathcal E_x$, kita memiliki itu dengan persamaan memegang salah satu batas jika untuk semua . Akhirnya, mencatat bahwa dan bahwa ketika , urutan adalah identik dengan urutan (yaitu, adalah bilangan real positif sehingga untuk semua ), kami memiliki bahwa menunjukkan bahwa memiliki nilai puncak pada $$-\mathcal E_x \leq R_x[n] \leq \mathcal E_x$$ $x[m] = \lambda x[m-n]$$m$ $$\mathcal E_x = \sum_m (x[m])^2 = R_x[0]$$ $n=0$$u[m] = x[m]$$v[m] = x[m-n] = x[m-0] = x[m]$$\lambda = 1$$u[m] = \lambda v[m]$$m$ $$-R_x[0] \leq R_x[n] \leq R_x[0]$$ $R_x[n]$$n=0$, semua nilai autokorelasi lainnya lebih kecil dari puncak ini.

---

Ketika adalah sinyal daya terbatas periodik , jumlah yang diberikan di atas untuk berbeda. Dalam kasus seperti itu, seseorang menggunakan fungsi autokorelasi periodik mana adalah periode , yang adalah, untuk semua bilangan bulat . Perhatikan bahwa adalah fungsi periodik dari . Sekarang, sementara itu benar bahwauntuk , nilai maksimum juga berulang secara berkala:$x[m]$$R_x[n]$

$$R_x[n] = \sum_{m=0}^{N-1} x[m](x[m-n])$$ $N$$x[m]$$x[m] = x[m-N]$$m$$R_x[n]$$n$$R_x[0] \geq |R_x[n]|$$1 < n < N$$R_x[0]$$R_x[kN] = R_x[0]$ untuk semua bilangan bulat . Perhatikan juga bahwa ada kemungkinan bahwa untuk beberapa , biasanya di jika adalah genap, dan jadi kita bisa memiliki lembah yang sedalam puncak tertinggi dalam fungsi autokorelasi periodik . Contoh paling sederhana dari urutan seperti itu adalah ketika dan satu periode urutan adalah yang autokorelasi periodiknya hanya urutan periodik , yaitu, puncak dan lembah bolak-balik dengan autokorelasi memiliki nilai puncak saat$k$$R_x[n] = -R_x[0]$$n \in \{1, 2, \ldots, N-1\}$$n = N/2$$N$$N=2$$[1 ~ -1]$$[2 ~ -2]$$R_x[n]$$2$$n$adalah bilangan bulat genap (jangan lupa bahwa adalah bilangan bulat genap!) dan memiliki nilai "anti peak" pada nilai ganjil dari . Secara lebih umum, kita memiliki fenomena ini setiap kali adalah genap dan satu periode dapat didekomposisi menjadi .$0$$-2$$n$$N$$\vec{x}$$[\vec{x^\prime}, -\vec{x^\prime}]$

menggunakan

$$\left(x[n] - x[n+m] \right)^2 = x^2[n] + x^2[n+m] - 2x[n]x[n+m]$$

orang dapat dengan mudah menunjukkan itu

$$\begin{align} R_x[m] & = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]x[n+m] \\ & = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x^2[n] - \frac{1}{2} \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(x[n] - x[n+m] \right)^2 \\ & = \ R_x[0] \quad \quad - \frac{1}{2} \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(x[n] - x[n+m] \right)^2 \\ \end{align}$$

istilah pertama hanyalah dan istilah kedua adalah angka non-negatif yang dikurangi dari yang pertama. itu berarti tidak boleh melebihi untuk apa pun .$R_x[0]$R x [ 0 ] $R_x[m]$$R_x[0]$$m$