Kapan dua sinyal ortogonal?

10

Definisi klasik ortogonalitas dalam aljabar linier adalah bahwa dua vektor ortogonal, jika produk dalamnya nol.

Saya pikir definisi ini mungkin diterapkan pada sinyal juga, tetapi kemudian saya memikirkan contoh berikut:

Pertimbangkan sinyal dalam bentuk gelombang sinus, dan sinyal lain dalam bentuk gelombang kosinus. Jika saya mencicipi keduanya, saya mendapatkan dua vektor. Sementara sinus dan cosinus adalah fungsi ortogonal, produk vektor sampel hampir tidak pernah nol, juga fungsi korelasi silang mereka pada t = 0 menghilang.

Jadi bagaimana kemudian, ortogonalitas didefinisikan dalam kasus ini? Atau contoh saya tidak aktif?

orthogonal-signals pengguna26311
sumber

10

Seperti yang Anda ketahui, ortogonalitas bergantung pada produk dalam ruang vektor Anda. Dalam pertanyaan Anda, Anda menyatakan bahwa:

Sementara sinus dan cosinus adalah fungsi ortogonal ...

Ini berarti bahwa Anda mungkin pernah mendengar tentang produk dalam "standar" untuk ruang fungsi:

⟨ f, g ⟩ = \int_{x_{1}}^{x_{2}} f (x) g (x) d x

$\langle f,g\rangle=\int\limits_{x_1}^{x_2} f(x)g(x) \ \mathrm{d}x$

Jika Anda menyelesaikan integral ini untuk $f(x)=\cos (x)$ dan $g(x)=\sin(x)$ untuk satu periode, hasilnya adalah $0$ : mereka ortogonal.

Namun, pengambilan sampel sinyal-sinyal ini tidak terkait dengan ortogonalitas atau apa pun. "Vektor" yang Anda dapatkan ketika Anda mengambil sampel sinyal hanyalah nilai-nilai yang disatukan yang masuk akal bagi Anda : mereka tidak sepenuhnya vektor , mereka hanya array (dalam pemrograman gaul). Fakta bahwa kita menyebutnya vektor dalam MATLAB atau bahasa pemrograman lain dapat membingungkan.

Ini agak rumit, sebenarnya, karena seseorang dapat mendefinisikan ruang vektor dimensi $N$ jika Anda memiliki $N$ sampel untuk setiap sinyal, di mana array tersebut akan menjadi vektor aktual . Tetapi itu akan mendefinisikan hal-hal yang berbeda.

Untuk kesederhanaan, anggaplah kita berada dalam ruang vektor $\mathbb{R}^3$ dan kamu punya $3$ sampel untuk setiap sinyal, dan semuanya bernilai nyata. Dalam kasus pertama, vektor (yaitu tiga angka disatukan) akan merujuk pada posisi di ruang angkasa. Dalam yang kedua, mereka merujuk pada tiga nilai yang dicapai sinyal pada tiga waktu yang berbeda. Dalam contoh ini mudah untuk menemukan perbedaannya. Jika kamu punya $n$ sampel, maka gagasan "ruang" akan kurang intuitif, tetapi gagasan itu masih berlaku.

Singkatnya, dua sinyal ortogonal jika produk dalam di antara mereka (yaitu, integral yang saya tulis di atas) adalah $0$ , dan vektor / susunan yang diperoleh dengan pengambilan sampel tidak memberi tahu kita apa pun tentang mereka yang ortogonal.

Tendero
sumber

4

Istilah "vektor" tidak selalu berarti "posisi dalam ruang". Bahkan, setiap elemen dari ruang vektor dapat dianggap sebagai vektor. Ruang fungsi L2 juga merupakan ruang vektor dengan penambahan elemen dan perkalian skalar. Oleh karena itu, fungsi yang merupakan elemen L2 dapat dianggap sebagai vektor ruang vektor ini. Dengan demikian, produk dalam antara vektor-vektor ini menentukan, jika fungsinya ortogonal pada ruang vektor ini.

Maximilian Matthé

Hai @ MaximilianMatthé, saya tidak pernah menyatakan bahwa "vector" = "position in space". Saya menulis contoh ruang vektor

R^{3}

$\mathbb{R}^3$ untuk membuat hal-hal lebih jelas, dan dalam hal ini vektor berada dalam koordinat ruang umum. Fakta bahwa saya mendefinisikan produk dalam untuk fungsi menyatakan (secara implisit) bahwa fungsi dapat membentuk ruang vektor. Haruskah saya mengedit sesuatu di posting saya untuk membuatnya lebih jelas? Saya merujuk pada sampel yang tidak menyusun ruang vektor yang sama dengan sinyal itu sendiri, dan itulah alasan mengapa sampel tidak mengatakan apa pun tentang ortogonalitas.

Tendero

@Tendero Terima kasih (saya mengajukan pertanyaan, lupa untuk masuk sebelumnya)! Namun, saya masih berjuang, karena Anda menyatakan bahwa, jika saya menghitung integral yang diberikan dengan

f (x) = c o s (x)

$f(x)=cos(x)$ dan

g (x) = s i n (x)

$g(x)=sin(x)$ , maka saya akan mendapatkan

0

$0$ . Ya tidak . Hasilnya adalah

- 0.5 c o s^{2} (x)

$-0.5cos^2(x)$ , yang tidak selalu nol. Memang, jika saya mengintegrasikan lebih dari satu periode, maka saya mendapatkan nol. Tetapi pada kenyataannya saya memiliki fungsi non-periodik untuk memulainya, dan produk dalamnya (seperti yang didefinisikan oleh integral Anda) juga tidak periodik. Jadi bagaimana?

AlphaOmega

2

@AlphaOmega Fungsi ortogonal dalam interval yang ditentukan. Interval integrasi harus ditentukan untuk mengetahui apakah dua fungsi ortogonal dalam interval itu . Hal yang biasa adalah mengintegrasikan cosinus dan sinus dalam suatu periode, dan kemudian produk dalam

0

$0$ . Jika Anda memiliki fungsi non-periodik, maka mungkin Anda harus mengajukan pertanyaan lain dengan yang dinyatakan dan lihat apa yang terjadi dalam kasus itu.

Tendero

Produk dalam harus selalu menyertakan batas, jika tidak produk dalam tidak berfungsi untuk suatu bidang. Interval mana yang Anda pilih juga mengubah ruang vektor yang dibicarakan.

syntonym

6

Orthogonality memang didefinisikan melalui produk dalam, dengan integral untuk variabel waktu ordinal kontinu, dengan jumlah untuk variabel waktu diskrit.

Ketika Anda mengubah dua sinyal ortogonal (kontinu) menjadi yang terpisah (pengambilan sampel reguler, amplitudo diskrit), mungkin berjendela (dukungan terbatas), Anda dapat memengaruhi ortogonalitas. Dengan kata lain: dua sinyal waktu kontinu ortogonal hanya dapat mendekati ortogonal ketika didiskritisasi. Jika diskretisasi cukup baik, dan jendela dipilih dengan baik, maka dalam beberapa kasus (berkaitan dengan periodisitas, frekuensi), Anda mempertahankan ortogonalitas.

Dalam pengaturan berkelanjutan, ruang fungsi tidak terbatas, sehingga Anda memiliki banyak opsi untuk menemukan sinyal ortogonal. Dalam ruang diskrit, jumlah maksimum dari sinyal ortogonal yang saling bergantung dibatasi oleh dimensi ruang.

Laurent Duval
sumber

2

Pertama-tama Anda harus mendefinisikan produk dalam untuk fungsi. Anda tidak bisa begitu saja berkembang biak satu sama lain.

Saya sendiri tidak yakin dengan sifat-sifat produk dalam, tetapi menurut kuliah ini, produk dalam harus komutatif, linier, dan produk dalam dari suatu fungsi dengan dirinya sendiri harus pasti positif.

Salah satu opsi untuk produk dalam untuk fungsi bisa jadi,

⟨ f_{1}, f_{2} ⟩ = \int_{a}^{b} f_{1} (x) f_{2} (x) d x,

$\left\langle f_1, f_2 \right\rangle = \int_a^b f_1(x)\, f_2(x)\, \mathrm{d}x,$

dengan $a<b$ . Tapi mungkin Anda bisa membuat definisi yang berbeda sendiri, atau bermain dengan yang ini dan lihat yang mana $a$ dan $b$ , $\sin(x)$ dan $\cos(x)$ bersifat ortogonal.

berserat
sumber

1

Sebenarnya,

s i n (2 π k_{1} f_{0} t)

$sin(2\pi k_1 f_0 t)$ dan

\cos (2 π k_{2} f_{0} t)

$\cos(2\pi k_2 f_0 t)$ adalah ortogonal untuk

b - a = \frac{n}{f_{0}}

$b-a=\frac{n}{f_0}$ dan

k_{1}, k_{2} \in Z

$k_1,k_2\in\mathbb{Z}$ dengan

n \in Z

$n\in\mathbb{Z}$ . Itulah periode dasar kedua fungsi tersebut.

Maximilian Matthé

1

Produk dalam tidak linier - mereka bilinear untuk ruang vektor nyata dan sesquilinear untuk yang kompleks. Mereka simetris untuk ruang vektor nyata dan konjugasi simetris untuk yang kompleks.

Batman

2

Saya pikir saya bisa menjawab pertanyaan setelah membaca artikel "Dekomposisi mode empiris dan spektrum Hilbert untuk analisis deret waktu nonlinear dan non-stasioner" oleh Huang. Dalam makalah ini (Halaman 927), Huang memberikan definisi ortogonalitas antara dua sinyal:

Dan juga, saya ingin berbagi dengan Anda kode MATLAB saya:

function OC=ort(x,y)
x=x(:)';
y=y(:);
xy=x*y;
OC=xy/(sum(x.^2)+sum(y.^2));
end

Itu saja, Semoga Sukses ~

Lesan Jia
sumber

1

Dalam hal perkalian matriks (seperti untuk DFT), interval integrasi yang setara untuk sinyal ditentukan oleh ukuran matriks (atau ukuran vektor input) dan laju sampel. Ini sering dipilih karena pertimbangan praktis (waktu atau ruang yang menarik dan / atau ketersediaan, dll.). Orthogonality didefinisikan selama interval integrasi tersebut.

hotpaw2
sumber

0

Saya berpendapat bahwa teladan Anda sedikit salah.

Anda kemungkinan besar tidak mencicipi fungsi tersebut $\sin$ dan $\cos$ benar, dalam arti bahwa pengambilan sampel harus menghormati periodisitas mereka. Jika Anda mencicipi fungsi ini di set $\{\dfrac{n2\pi}{N}\ |\ n\in\{0,\ldots, N-1\}\}$ , Saya yakinkan Anda bahwa Anda akan menemukan bahwa $N$ vektor -dimensi Anda akan menemukan akan sepenuhnya ortogonal.

axplusb
sumber

0

Saya suka memiliki pendekatan geometris pada jenis masalah ini dengan mengingat bahwa rumus Pythogoras masih berlaku untuk vektor:

| x - y |^{2} = | x |^{2} + | y |^{2} - 2 \cdot ⟨ x, y ⟩,

$| x - y |^2 = | x |^2 + | y |^2 - 2\cdot\left\langle x, y \right\rangle,$

dengan produk skalar yang mendefinisikan koefisien korelasi sebagai cosinus sudut antara dua vektor dalam ruang produk dalam ini :

⟨ x, y ⟩ = | x | \cdot | y | \cdot \cos (a n g l e (x, y)),

$\left\langle x, y \right\rangle = | x | \cdot | y | \cdot \cos( angle(x, y)),$

Skalar $\cos(angle(x, y))$ dengan demikian dibatasi antara $-1$ dan $1$ dan mengukur kosinus sudut $angle(x, y)$ antara vektor $x$ dan $y$ .

sedemikian rupa, untuk menjawab pertanyaan Anda, ortogonalitas didefinisikan (seperti dalam ruang planar geometri biasa) seperti ketika kosinus adalah nol .

meduz
sumber

apa yang Anda maksud dengan

\cos (f, g)

$\cos(f,g)$ ?

robert bristow-johnson

\cos

$\cos$ adalah skalar yang didefinisikan oleh persamaan kedua, saya menambahkan tinta + mencoba membuatnya lebih jelas

meduz

maksudmu:

\begin{aligned} \cos (f, g) & ≜ \frac{⟨ f, g ⟩}{| f | \cdot | g |} \\ = \frac{| f |^{2} + | g |^{2} - | f - g |^{2}}{2 \cdot | f | \cdot | g |} \end{aligned}

$\begin{align} \cos(f,g) & \triangleq \frac{\langle f, g \rangle}{|f| \cdot |g|} \\ \\ &= \frac{|f|^2+|g|^2-|f-g|^2}{2 \cdot |f| \cdot |g|} \\ \end{align}$ apakah itu yang kamu katakan? Saya belum pernah melihat fungsi argumen dua kosinus dalam setengah abad yang dekat bahwa saya telah menyadari fungsi kosinus.

robert bristow-johnson

Anda benar, kesalahan saya, saya telah mengoreksi rumusan jawaban saya.

meduz

Kapan dua sinyal ortogonal?

Jawaban: