Meningkatkan SNR menggunakan teknik DSP

Saya sedang membangun sistem OOK (On off Key Ring) optik tanpa frekuensi pembawa. [Namun saya memiliki waktu jaga di antara simbol, sehingga pesan "1" berturut-turut akan menghasilkan kereta pulsa yang berlawanan dengan DC, lihat gambar]. Pada dasarnya, keberadaan sinyal menunjukkan satu dan kurangnya sinyal menunjukkan nol. Saya memiliki jam yang tepat yang menyinkronkan penerima dengan pemancar. Sistem beroperasi dengan SNR rendah dan saya ingin meningkatkan SNR menggunakan teknik DSP.

Saya punya beberapa pertanyaan:

Saya melakukan pengambilan sampel selektif dalam perangkat keras saya, dengan kata lain, saya tidak terus-menerus mengambil sampel saluran tetapi hanya sampel ketika probabilitas melihat sinyal maksimum (yaitu ini adalah pulsa cahaya, saya mengatur waktu ADC sehingga sampel ADC di akhir) dari pulsa di mana saya tahu seluruh rantai analog distabilkan). Lihat gambar.

Secara alami, gambar ini tidak menunjukkan suara tetapi itu ada. Ini khususnya sistem sinyal rendah dan sumber kebisingan utama adalah noise tembakan, noise Johnson dan noise internal amplifier. (Sistem optik sehingga tidak ada interferer lain kecuali Sun). Pengamatan saya terhadap kebisingan menunjukkan, ini serupa di semua frekuensi. (Setidaknya apa yang saya lihat di Lingkup)

Saya sekarang menggunakan perbandingan ambang batas sederhana dalam perangkat lunak untuk menentukan apakah datanya satu atau nol. Apakah ada cara yang lebih baik? Saya telah memikirkan beberapa opsi tetapi saya suka mendengar dari para ahli.

Sejauh ini saya telah mempertimbangkan opsi-opsi berikut:

• Lakukan ADC terus menerus dan coba integrasikan selama waktu naik: Tidak sepenuhnya yakin akan manfaatnya (Mungkin ada manfaat lain, saya tidak tahu).

• Filter yang cocok dalam perangkat lunak: Tidak benar-benar memahami matematika tetapi berdasarkan pada apa yang saya baca, kemungkinan

• Sampel selama waktu jaga dan kurangi ini dari nilai ADC sinyal (Ini mungkin memberikan beberapa rincian lebih lanjut tetapi juga tidak begitu yakin, waktu jaga akan menjadi pengukuran kebisingan)

• Mengubah perangkat keras menjadi decoder sinkron, mahal, memakan waktu dan mungkin tidak berfungsi dengan baik karena kecepatan data saya cepat dan mendapatkan demodulator sinkron akan berarti papan mahal karena saya harus membangun sistem frekuensi pembawa multi-MHz.

Karena Anda menunjukkan bahwa spektrum daya kebisingan latar belakang Anda datar, saya akan menganggapnya putih . Kelemahan utama dengan pendekatan Anda saat ini adalah bahwa Anda membuang sejumlah besar kekuatan sinyal; bahkan dengan efek pengikatan ujung depan yang ditunjukkan oleh diagram Anda dengan respons langkah naik eksponensial, sampel ADC tunggal di dekat ujung pulsa bulat memberikan snapshot dari input penerima yang agak terlokalisir pada waktunya. Anda dapat memanfaatkan lebih banyak daya sinyal dengan mengambil sampel pada laju yang lebih tinggi dan menerapkan filter yang cocok pada laju sampel yang lebih tinggi.

Teori:

Anda dapat melihat ini sebagai masalah yang relatif sederhana dalam teori deteksi . Dalam setiap interval simbol, penerima Anda perlu memutuskan antara dua hipotesis:

$$\begin{eqnarray*} H_0 &:& signal \ is \ not \ present \\ H_1 &:& signal \ is \ present \end{eqnarray*}$$

Masalah semacam ini sering diselesaikan dengan menggunakan aturan keputusan Bayesian , yang berupaya untuk membuat keputusan optimal sesuai dengan beberapa ukuran risiko tertentu. Ini memberikan kerangka kerja di mana seseorang dapat secara optimal membuat keputusan deteksi berdasarkan serangkaian kriteria yang fleksibel. Misalnya, jika ada penalti besar untuk sistem Anda karena gagal mendeteksi sinyal jika ternyata ada (yaitu Anda memilih ketika H 1 benar), maka Anda dapat membangun itu ke dalam aturan keputusan Anda jika diperlukan.$H_0$$H_1$

Untuk masalah pendeteksian seperti milik Anda, di mana Anda mencoba untuk memutuskan antara nol dan yang di output penerima, hukuman biasanya diasumsikan sama (mengeluarkan nol ketika satu dikirim, dan sebaliknya, "sama-sama sakit" ). Pendekatan Bayesian dalam kasus tersebut dikurangi menjadi penduga kemungkinan maksimum (juga dijelaskan di sini ): Anda memilih hipotesis yang paling mungkin, mengingat pengamatan yang dilakukan penerima Anda. Artinya, jika jumlah yang diamati oleh penerima Anda adalah , maka itu akan menghasilkan keputusan berdasarkan hipotesis yang memiliki nilai fungsi kemungkinan terbesar . Untuk kasus keputusan biner, rasio kemungkinan dapat digunakan sebagai gantinya:$x$

$$\Lambda(x) = \frac{P(x\ |\ H_0 \ is \ true)}{P(x\ |\ H_1 \ is \ true)} = \frac{P(x\ |\ signal \ is \ not \ present)}{P(x\ |\ signal \ is \ present)}$$

Dengan menggunakan model di atas, untuk setiap pengamatan saluran , penerima optimal akan memutuskan bahwa sinyal tidak ada (karena itu menghasilkan nol) jika rasio kemungkinan Λ ( x ) lebih besar dari satu (dan karena itu sinyal kemungkinan besar adalah untuk tidak hadir berdasarkan pengamatan), dan sebaliknya.$x$$\Lambda(x)$

Yang tersisa adalah model untuk sinyal dari bunga dan komponen lainnya di penerima deteksi statistik yang dapat mempengaruhi keputusan-keputusannya. Untuk komunikasi digital seperti ini, mungkin dimodelkan sebagai berikut:$x$

$$\begin{eqnarray*} H_0 &:& x = N \\ H_1 &:& x = s + N \end{eqnarray*}$$

di mana adalah variabel acak yang diambil dari beberapa distribusi (sering diasumsikan sebagai Gaussian nol-rata) dan s adalah komponen deterministik dari pengamatan yang disebabkan oleh sinyal yang Anda cari. Distribusi penerima yang dapat diamati x , oleh karena itu, bervariasi tergantung pada apakah hipotesis H 0 atau H 1 benar. Untuk mengevaluasi rasio kemungkinan, Anda memerlukan model untuk apa distribusi tersebut. Untuk kasus Gaussian yang dirujuk di atas, matematika terlihat seperti ini:$n$$s$$x$$H_0$$H_1$

$$\Lambda(x) = \frac{P(x\ |\ H_0 \ is \ true)}{P(x\ |\ H_1 \ is \ true)} = \frac{P(x\ |\ x = N)}{P(x\ |\ x = s + N)}$$

$$\Lambda(x) = \frac{P(x\ |\ H_0 \ is \ true)}{P(x\ |\ H_1 \ is \ true)} = \frac{e^{\frac{-x^2}{2 \sigma^2}}}{e^{\frac{-(x - s)^2}{2 \sigma^2}}}$$

di mana adalah varian dari istilah noise Gaussian, Perhatikan bahwa komponen sinyal aditif hanya memiliki fungsi menggeser rata-rata distribusi Gaussian x yang dihasilkan . Rasio log-likelihood dapat digunakan untuk menyingkirkan eksponensial:$\sigma^2$$x$

$$\ln(\Lambda(x)) = \ln\left(\frac{e^{\frac{-x^2}{2 \sigma^2}}}{e^{\frac{-(x - s)^2}{2 \sigma^2}}}\right) = \left(\frac{-x^2}{2 \sigma^2}\right) - \left(\frac{-(x - s)^2}{2 \sigma^2}\right)$$

Ingat bahwa aturan keputusan kami memilih jika rasio kemungkinan lebih besar dari satu. Aturan keputusan log-likelihood yang setara adalah untuk memilih H 0 jika log-likelihood lebih besar dari nol. Beberapa aljabar menunjukkan bahwa aturan keputusan berkurang menjadi:$H_0$$H_0$

$$\begin{eqnarray*} x < \frac{s}{2} \rightarrow choose\ H_0 \\ x > \frac{s}{2} \rightarrow choose\ H_1 \end{eqnarray*}$$

$x = \frac{s}{2}$$s$$T = \frac{s}{2}$$x$$T$

Praktek:

$s$

Seperti yang saya rujuk sebelumnya, noise sering dianggap sebagai Gaussian karena distribusi normal sangat mudah untuk dikerjakan: jumlah sekelompok Gaussi independen masih Gaussian, dan rata-rata serta variansnya juga menambahkan. Juga, statistik urutan pertama dan kedua dari distribusi sudah cukup untuk sepenuhnya mencirikannya (mengingat rata-rata dan varian dari distribusi Gaussian, Anda dapat menulis pdf -nya ). Jadi, semoga itu perkiraan yang layak setidaknya untuk aplikasi Anda.

$s$$N$$s$

$$\begin{eqnarray*} P_e &=& P(choose \ H_0 \ |\ H_1\ true) P(H_1\ true) + P(choose \ H_1 \ |\ H_0\ true) P(H_0\ true) \\ &=& \frac{1}{2} P(x < \frac{s}{2} \ |\ x = s + N) + \frac{1}{2} P(x > \frac{s}{2} \ |\ x = N) \\ &=& \frac{1}{2} F_{x\ |\ x = s + N}\left(\frac{s}{2}\right) + \frac{1}{2} \left(1 - F_{x\ |\ x = N}\left(\frac{s}{2}\right)\right) \end{eqnarray*}$$

$F_{x\ |\ x = s + N}(z)$$x$$x = s + N$

$$\begin{eqnarray*} P_e &=& \frac{1}{2} \left(1 - Q\left(\frac{\frac{s}{2} - s}{\sigma}\right)\right) + \frac{1}{2} Q\left(\frac{\frac{s}{2}}{\sigma}\right) \\ &=& \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \left(-Q\left(\frac{\frac{s}{2} - s}{\sigma}\right) + Q\left(\frac{\frac{s}{2}}{\sigma}\right)\right) \\ &=& \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \left(-Q\left(\frac{-s}{2\sigma}\right) + Q\left(\frac{s}{2\sigma}\right)\right) \\ &=& \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \left(-Q\left(\frac{-SNR}{2}\right) + Q\left(\frac{SNR}{2}\right)\right) \\ &=& Q\left(\frac{SNR}{2}\right) \end{eqnarray*}$$

where $Q(x)$ is the Q function:

$$Q(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{x}^{\infty} e^{\frac{-z^2}{2}} dz$$

(i.e. the tail integral of the standard normal distribution's pdf, or $1$ minus the distribution's cdf) and $SNR$ is the signal-to-noise ratio $\frac{s}{\sigma}$. The above function is a strictly decreasing function of $SNR$; as you increase the ratio of the signal amplitude $s$ to the noise standard deviation $\sigma$, the probability of making a bit decision error decreases. So, it behooves you to do whatever you can to increase this ratio.

Remember our assumption that the noise was white and Gaussian? That can help us now. If the noise is white and Gaussian, then the noise components contained in each observation are jointly independent of one another. An important property of independent random variables is that when you sum them together, their means and variances sum. So, let's consider another simple case, where instead of taking one sample per symbol interval, you take two, then sum them together. I'll assume for simplicity that the pulse shape is rectangular (not an exponential rise), so the signal component $s$ in each observation $x_1$ and $x_2$ is the same. What is the difference in signal to noise ratio between just a single observation $x_1$ and the sum of two independent ones?

$$SNR_1 = \frac{s}{\sigma}$$

$$SNR_2 = \frac{2s}{\sqrt{2 \sigma}} = \sqrt{2}SNR_1$$

So, the signal to noise ratio in the combined observation is larger than using only a single sample (under the assumption of equal signal component and equal-variance white Gaussian noise in both samples that we took). This is a basic observation that points out the potential benefits of taking more than one sample per symbol interval and integrating them together (which, for a rectangular pulse, is a matched filter). In general, you want to cover the entire symbol interval with samples so that your receiver "ingests" as much of the transmitted energy for each symbol, thus maximizing the SNR in the combined output. The ratio of symbol energy to the background noise variance $\frac{E_s}{N_0}$ is often used as a figure of merit when evaluating digital communications system performance.

More rigorously, it can be shown that a matched filter has an impulse response that is identical in shape (that is, "matched", with the only subtle exception being that the impulse response is reversed in time) to the pulse shape that the receiver sees (so it weights more strongly samples that have larger signal components). That shape is a function of the transmitted pulse shape as well as any effects induced by the channel or receiver front end, such as bandlimiting or multipath.

To implement this sort of arrangement in practice, you would convolve the stream of samples taken by your ADC with the time-reversed expected pulse shape. This has the effect of calculating the cross-correlation between the pulse shape and the received signal for all possible time offsets. Your implementation is aided by the precise time synchronization that you have available, so you'll know exactly which matched filter output samples correspond to correct sampling instants. The filter outputs at those times are used as the detection statistic $x$ in the theoretical model above.

I referred to threshold selection before, which can be a complicated topic, and there are many different ways that you can choose one, depending upon your system's structure. Selecting a threshold for an on-off-keyed system is complicated by the likely-unknown signal amplitude $s$; other signal constellations, like antipodal signaling (e.g. binary phase shift keying, or BPSK) have a more obvious threshold choice (for BPSK, the best threshold is zero for equally-likely data).

One simple implementation of a threshold selector for OOK might calculate the mean of many observations. Assuming that zeros and ones are equally likely, the expected value of the resulting random variable is half of the signal amplitude, which is the threshold that you seek. Performing this operation over a sliding window can allow you to be somewhat adaptive to varying background conditions.

Note that this is only intended to be a high-level introduction to the issues inherent in digital communications with respect to detection theory. It can be a very complicated topic, with a lot of statistics involved; I tried to make it somewhat easy to understand while keeping true to the underlying theory. For a better explanation, go get a good textbook, like Sklar's.

One possible technique might be to try using periodic training sequences to gather statistics, not only to differentiate between the 1's and 0's, or to calculate a reliability metric for any given threshold, but to analyze how various bit sequences might affect an adaptive bit decision threshold.