Penjelasan matematika yang baik tentang fenomena Gibbs

13

Saya sedang menjelaskan kepada seseorang bagaimana deret Fourier bekerja dalam konteks membangun sinyal yang tidak dapat dibedakan di mana-mana, misalnya gelombang persegi, gelombang gigi gergaji, dll. Ketika saya menyebutkan fenomena Gibbs, saya menyadari bahwa saya tidak pernah benar-benar mengetahui mengapa itu terjadi. Faktanya, seperti ceritanya, tidak semua orang menyadari bahwa ini adalah properti matematika aktual dari rangkaian sinyal periodik yang tak terbatas dan bukan kebetulan komputasi, dan ternyata sebagian besar bukti cukup sulit dan rumit.

Setelah membaca beberapa dari mereka, saya mulai menyadari mengapa fenomena seperti itu bisa terjadi, tetapi saya memiliki latar belakang dalam analisis yang nyata dan kompleks, topologi dan sebagainya. Pertanyaannya adalah dapatkah saya sepenuhnya menjelaskan dan membuktikan fenomena Gibbs secara matematis kepada seseorang yang hanya memiliki program dasar kalkulus sarjana di gudang senjata mereka (atau prasyarat umum lainnya untuk kursus pemrosesan sinyal sarjana)? Jika demikian, lalu bagaimana?

fourier-series gibbs-phenomenon Phonon
sumber
4
IMHO, artikel Wikipedia tentang fenomena Gibbs sebenarnya ditulis dengan cukup baik. Apakah itu yang Anda cari atau perlu sesuatu yang lain? en.wikipedia.org/wiki/Gibbs_phenomenon
Hilmar
1
Saya selalu menemukan fenomena yang menarik. Salah satu perincian yang lebih mengejutkan sehubungan dengan seri Fourier yang terpotong hingga panjang yang terbatas adalah bahwa ketika Anda menambah jumlah istilah dalam jumlah, osilasi Gibbs dikompresi dalam waktu, tetapi besarnya overshoot adalah konstan. Dahulu kala, saya diberikan penjelasan yang bagus tentang mengapa dalam program sarjana, tetapi saya rasa saya tidak menuliskannya.
Jason R

Jawaban:

5

Buku "Formula Luar Biasa Dr. Euler: Menyembuhkan Banyak Penyakit Matematika", oleh P. Nahin, Princeton University Press, mengarah ke dan berisi penjelasan tentang fenomena Gibbs yang mungkin cocok untuk seseorang dengan latar belakang matematika tingkat sarjana sarjana yang bagus.

hotpaw2
sumber
1
Dengan kata lain: penjelasan yang tepat dan tepat pada level ini mungkin tidak lebih pendek dari satu atau lebih bab panjang buku.
hotpaw2
Buku-buku ini tampaknya berisi penjelasan tentang apa (Gibbraham-) fenomena Gibbs, dan diskusi yang menarik tentang sejarah penemuannya, tetapi tidak ada penjelasan atau derivasi. Mungkin saya melewatkannya, dalam hal ini mungkin seseorang dapat memberikan referensi bagian dan / atau nomor halaman?
Maks.
1

Anda selalu dapat mengatakan itu sindan cosmemiliki bentuk melengkung, dan Anda perlu jumlah frekuensi tak terbatas untuk membentuk ujung yang tajam dari banyak bentuk melengkung.

0x90
sumber