Pertanyaan tentang matriks kovarians dari 2 sinyal spasial

Setiap kali saya pikir saya telah memahami matriks kovarian, orang lain muncul dengan formulasi yang berbeda.

Saya sedang membaca makalah ini:

J. Benesty, "Algoritma dekomposisi nilai eigen adaptif untuk pelokalan sumber akustik pasif" , J. Acoust. Soc. Saya. Volume 107 , Edisi 1, hlm. 384-391 (2000)

dan saya telah menemukan formulasi yang saya tidak begitu mengerti. Di sini, penulis sedang membangun matriks kovarians antara dua sinyal, , dan x 2 . Kedua sinyal tersebut berasal dari sensor yang berbeda.$x_1$$x_2$

Untuk matriks kovarians dari satu sinyal, saya tahu bahwa kita bisa mendapatkannya dengan menghitung matriks regresi, dan kemudian mengalikannya dengan Hermitian dari matriks yang sama, dan membaginya dengan , panjang dari vektor asli. Ukuran dari kovarians matriks disini bisa sembarangan, dengan ukuran maksimum menjadi N × N .$N$$N\times N$

Untuk matriks kovarians dari dua sinyal spasial, jika kita menempatkan sinyal pertama di baris pertama, dan sinyal kedua di baris kedua dari matriks, lalu kalikan dengan Hermitiannya, dan juga bagi dengan , maka kita mendapatkan 2 × 2 matriks kovarian dari kedua sinyal spasial.$N$$2\times 2$

Namun, dalam makalah ini, penulis menghitung apa yang tampak seperti empat matrik, , dan R $R_1{}_1, R_1{}_2, R_2{}_1$ , dan kemudian menempatkan mereka ke dalam matriks super dan menyebutnya matriks kovarians.$R_2{}_2$

Kenapa begitu? Ini adalah gambar dari teks:

$x_1[n]$$x_2[n]$$N$

1. $\displaystyle\sum_{n=1}^N x_i[n]x_j[n],~ i, j \in \{1,2\}$$2\times 2$

   $$R_{2\times 2} = \left[\begin{matrix} \sigma_1^2 & C\\ C & \sigma_2^2\end{matrix}\right].$$ $x_1[n]$$\sigma_1^2 = R_{1,1}$$R_{2,2} = \sigma_2^2$$x_2[n]$$R_{1.2}=R_{2,1} = C$$n$$n-1$$n+1$

2. $x_1[n]$$x_1[m]$$x_1[n]$$x_2[m]$$2N$$2N \times 2N$$R_{\text{full}} = E[XX^T]$

   $$X = (x_1[1],x_1[2],\ldots,x_1[N],x_2[1],x_2[2],\ldots,x_2[N])^T = (\mathbf x_1,\mathbf x_2)^T$$ $$R_{\text{full}} = \left[ \begin{matrix}R_{\mathbf x_1,\mathbf x_1} & R_{\mathbf x_1,\mathbf x_2}\\ R_{\mathbf x_2,\mathbf x_1} & R_{\mathbf x_2,\mathbf x_2}\end{matrix} \right]$$ $R_{\mathbf x_i,\mathbf x_j} = E[\mathbf x_i\mathbf x_j^T]$$R_{\mathbf x_i,\mathbf x_j}$$(x_i[1],x_i[2],\ldots,x_i[N])$$(x_j[1],x_j[2],\ldots,x_j[N])$$i \neq j$$i = j$$n = m$ $$R_{\text{full}} \rightarrow R_{\text{simple}} = \left[ \begin{matrix}\sigma_1^2I & CI\\ CI & \sigma_2^2I \end{matrix}\right]$$ $I$$N\times N$$\sigma_1^2, \sigma_2^2$$C$$2N\times 2N$$R_{\text{full}}$$2\times 2$$R_{2\times 2}$$2N\times 2N$$R_{\text{full}}$$\sigma_1^2, \sigma_2^2$$C$$R_{\text{full}}$$R_{\text{simple}}$$R_{2\times 2}$