Pertanyaan tentang matriks kovarians dari 2 sinyal spasial

9

Setiap kali saya pikir saya telah memahami matriks kovarian, orang lain muncul dengan formulasi yang berbeda.

Saya sedang membaca makalah ini:

J. Benesty, "Algoritma dekomposisi nilai eigen adaptif untuk pelokalan sumber akustik pasif" , J. Acoust. Soc. Saya. Volume 107 , Edisi 1, hlm. 384-391 (2000)

dan saya telah menemukan formulasi yang saya tidak begitu mengerti. Di sini, penulis sedang membangun matriks kovarians antara dua sinyal, , dan x 2 . Kedua sinyal tersebut berasal dari sensor yang berbeda.x1x2

Untuk matriks kovarians dari satu sinyal, saya tahu bahwa kita bisa mendapatkannya dengan menghitung matriks regresi, dan kemudian mengalikannya dengan Hermitian dari matriks yang sama, dan membaginya dengan , panjang dari vektor asli. Ukuran dari kovarians matriks disini bisa sembarangan, dengan ukuran maksimum menjadi N × N .NN×N

Untuk matriks kovarians dari dua sinyal spasial, jika kita menempatkan sinyal pertama di baris pertama, dan sinyal kedua di baris kedua dari matriks, lalu kalikan dengan Hermitiannya, dan juga bagi dengan , maka kita mendapatkan 2 × 2 matriks kovarian dari kedua sinyal spasial.N2×2

Namun, dalam makalah ini, penulis menghitung apa yang tampak seperti empat matrik, , dan R 2R11,R12,R21 , dan kemudian menempatkan mereka ke dalam matriks super dan menyebutnya matriks kovarians.R22

Kenapa begitu? Ini adalah gambar dari teks:

masukkan deskripsi gambar di sini

Spacey
sumber

Jawaban:

6

x1[n]x2[n]N

  1. n=1Nxi[n]xj[n], i,j{1,2}2×2

    R2×2=[σ12CCσ22].
    x1[n]σ12=R1,1R2,2=σ22x2[n]R1.2=R2,1=Cnn1n+1
  2. x1[n]x1[m]x1[n]x2[m]2N2N×2NRfull=E[XXT]

    X=(x1[1],x1[2],,x1[N],x2[1],x2[2],,x2[N])T=(x1,x2)T
    Rfull=[Rx1,x1Rx1,x2Rx2,x1Rx2,x2]
    Rxi,xj=E[xixjT]Rxi,xj(xi[1],xi[2],,xi[N])(xj[1],xj[2],,xj[N])iji=jn=m
    RfullRsimple=[σ12ICICIσ22I]
    IN×Nσ12,σ22C2N×2NRfull2×2R2×22N×2NRfullσ12,σ22CRfullRsimpleR2×2
Dilip Sarwate
sumber
Terima kasih. Pertama, bukankah sigma dalam (1) mengatakan dari n = 0 hingga N-1? (Bukan dari i = 1 ke n).
Spacey
Saya tidak yakin saya masih mengerti apa / mengapa kita melakukannya dengan cara ini. Apakah Anda mengatakan bahwa untuk (1), karena suara-suara di kedua vektor sepenuhnya independen satu sama lain, kita harus menggunakan metode itu, dan dengan demikian mendapatkan matriks varians 2x2, tetapi dalam kasus kedua (2), karena suara-suara di vektor tidak independen, kita harus menggabungkan kedua vektor dan kemudian menghitung matriks co-variance mereka? Mengapa demikian? Saya khawatir saya masih tidak mengerti motivasi di sini ...
Spacey
Terima kasih saya akan membacanya lagi. Juga, subskrip untuk sigma harus 'n', bukan 'i'.
Spacey
R2x2,RfullRsimple
x1x2