Dalam kontrol PID, apa yang diwakili oleh kutub dan nol?

Setiap kali saya membaca teks tentang kontrol (mis. Kontrol PID) sering disebutkan 'kutub' dan 'nol'. Apa yang mereka maksud dengan itu? Keadaan fisik apa yang digambarkan oleh kutub atau nol?

Fungsi yang menjelaskan cara input ke sistem memetakan ke output sistem disebut sebagai fungsi transfer.$T(\mathbf{x})$

Untuk sistem linear fungsi transfer dapat ditulis sebagai di mana dan adalah polinomial, yaitu$N(\mathbf{x})/D(\mathbf{x})$$N$$D$

Nol sistem adalah nilai yang memenuhi pernyataan . Dengan kata lain mereka adalah akar dari polinomial . Sebagai . mendekati nol, pembilang fungsi transfer (dan karenanya fungsi transfer itu sendiri) mendekati nilai 0.$x$$N(\mathbf{x}) = 0$$N(\mathbf{x})$$N(\mathbf{x})$

Demikian pula kutub sistem adalah nilai yang memenuhi pernyataan . Dengan kata lain mereka adalah akar dari polinomial . Ketika mendekati kutub, penyebut fungsi transfer mendekati nol, dan nilai fungsi transfer mendekati tak terhingga.$x$$D(\mathbf{x}) = 0$$D(\mathbf{x})$$D(\mathbf{x})$

Tiang dan nol memungkinkan kita untuk memahami bagaimana suatu sistem akan bereaksi terhadap berbagai input. Nol menarik karena kemampuannya untuk memblokir frekuensi sementara kutub memberi kita informasi tentang stabilitas sistem. Secara umum kami plot kutub dan nol di bidang kompleks dan kami mengatakan sistem terikat-input terikat-output (BIBO) stabil jika kutub terletak di bagian kiri dari pesawat kompleks (LHP - Left Half Plane).

Akhirnya, ketika kita mendesain sebuah pengontrol, kita sebenarnya memanipulasi kutub dan nolnya untuk mencapai parameter desain tertentu.

Fungsi transfer polinomial ini terjadi, ketika Anda melakukan transformasi Laplace pada beberapa persamaan diferensial linier yang dapat benar-benar menggambarkan robot Anda atau merupakan hasil dari linearisasi dinamika robot pada kondisi yang diinginkan. Anggap saja seperti "ekspansi Taylor" di sekitar negara bagian itu.

Transformasi Laplace adalah generalisasi transformasi Fourier ke fungsi yang tidak periodik. Dalam teknik listrik, Transformasi Laplace ditafsirkan sebagai representasi sistem dalam domain frekuensi , yaitu menggambarkan, bagaimana sistem mentransmisikan frekuensi dari sinyal input. Nol kemudian menggambarkan frekuensi yang tidak ditransmisikan. Dan seperti yang telah disebutkan oleh DaemonMaker, kutub penting ketika mempertimbangkan stabilitas sistem: Fungsi transfer sistem menjadi tak terhingga di dekat kutub.

Apa yang mereka maksud dalam konteks kontrol:

Polandia : Mereka memberi tahu Anda, jika suatu sistem (yang juga bisa menjadi sistem baru, di mana Anda telah memasukkan lingkaran umpan balik dengan undang-undang kontrol) stabil atau tidak. Biasanya Anda ingin sistem menjadi stabil. Jadi, Anda ingin semua kutub sistem berada di setengah bidang kiri (yaitu bagian nyata dari kutub harus lebih kecil dari nol). Kutub adalah nilai eigen dari matriks sistem Anda . Seberapa jauh mereka berada di pesawat setengah kiri memberitahu Anda seberapa cepat sistem konvergen ke keadaan istirahat itu. Semakin jauh mereka dari sumbu imajiner, semakin cepat konvergensi sistem.

Nol : Mereka bisa nyaman jika Anda memiliki kutub pada bidang setengah kanan atau masih pada setengah bidang kiri, tetapi terlalu dekat dengan sumbu imajiner: Dengan modifikasi cerdas sistem Anda, Anda dapat menggeser nol ke kutub yang tidak diinginkan untuk memusnahkan mereka .

Saya tidak bisa berbicara untuk nol dari fungsi transfer, tetapi kutub dari fungsi transfer pasti memiliki interpretasi yang bermakna.

Untuk memahami interpretasi ini, Anda harus ingat bahwa sistem yang ingin kita kontrol sebenarnya adalah salah satu dari dua hal: persamaan diferensial atau persamaan perbedaan . Dalam kedua kasus, pendekatan umum untuk memecahkan persamaan ini adalah untuk menentukan nilai eigennya. Lebih penting lagi, ketika sistem itu linier, nilai eigen dari persamaan diferensial / perbedaan bersesuaian dengan kutub fungsi transfer. Jadi, dengan mendapatkan kutub, Anda benar-benar mendapatkan nilai eigen dari persamaan aslinya. Nilai eigen dari persamaan asli (menurut saya) yang benar-benar menentukan stabilitas sistem; hanya kebetulan yang luar biasa bahwa kutub-kutub sistem linear persis dengan nilai eigen dari persamaan aslinya.

Untuk menggambarkan hal ini, pertimbangkan dua kasus secara terpisah:

Kasus 1: Persamaan Diferensial

Ketika semua nilai eigen dari persamaan diferensial memiliki bagian riil negatif, maka semua lintasan (yaitu semua solusi) mendekati solusi kesetimbangan di titik asal (x = 0). Ini karena solusi persamaan diferensial biasanya dari bentuk fungsi eksponensial seperti , di mana adalah nilai eigen. Dengan demikian, fungsi sebagai hanya jika . Kalau tidak, jika , kuantitas kemungkinan besar akan meledak hingga tak terhingga besarnya atau hanya tidak konvergen ke nol. λ x ( t ) → 0 t → ∞ R e ( λ ) < 0 R e ( λ ) ≥ 0 e λ $x(t)=Ce^{\lambda t}$$\lambda$ $x(t)\rightarrow 0$$t\rightarrow \infty$$Re(\lambda)<0$$Re(\lambda)\ge 0$$e^{\lambda t}$

Kasus 2: Persamaan Perbedaan

Ketika semua nilai eigen dari persamaan perbedaan kurang dari 1 dalam besarnya, maka semua lintasan (yaitu semua solusi) mendekati solusi kesetimbangan di titik asal (x = 0). Ini karena solusi dari persamaan perbedaan biasanya dari bentuk urutan eksponensial seperti , di mana adalah nilai eigen. Dengan demikian, urutan sebagai hanya jika . Kalau tidak, jika , kuantitas akan meledak hingga tak terhingga besarnya atau hanya tidak konvergen ke nol. λ x t → 0 t → ∞ | λ | < 1 | λ | ≥ 1 λ $x_t=C\lambda^t$$\lambda$ $x_t\rightarrow 0$$t\rightarrow\infty$$|\lambda|<1$$|\lambda|\ge 1$$\lambda^t$

Dalam kedua kasus tersebut, kutub fungsi sistem dan nilai eigen dari persamaan diferensial / perbedaan (homogen) adalah hal yang persis sama! Menurut pendapat saya, lebih masuk akal bagi saya untuk menafsirkan kutub sebagai nilai eigen karena nilai eigen menjelaskan kondisi stabilitas dengan cara yang lebih alami.