Bagaimana Memfaktorkan Continuation Monad ke dalam Adjoint Kiri & Kanan?

Sebagai Negara monad dapat difaktorkan menjadi Produk (Kiri - Functor) dan Pembaca (Kanan - Representable).

1. Apakah ada cara untuk memfaktisasi Monad Lanjutan? Kode di bawah ini adalah upaya saya, yang tidak akan memeriksa jenis

-- To form a -> (a -> k) -> k
{-# LANGUAGE MultiParamTypeClasses, TypeOperators, InstanceSigs, TypeSynonymInstances #-}
type (<-:) o i = i -> o
-- I Dont think we can have Functor & Representable for this type synonym

class Isomorphism a b where
   from :: a -> b
   to :: b -> a

instance Adjunction ((<-:) e) ((<-:) e) where
   unit :: a -> (a -> e) -> e
   unit a handler = handler a

   counit :: (a -> e) -> e -> a
   counit f e = undefined -- If we have a constraint on Isomorphism a e then we can implement this

2. Apakah ada daftar Left & Rights Adjoints yang membentuk monads?

3. Saya telah membaca bahwa, mengingat sepasang adjoints, mereka membentuk Monad & Comonad yang unik tetapi, mengingat Monad, itu dapat difaktorkan menjadi beberapa faktor. Apakah ada contohnya?

Ini tidak melakukan checkecheck karena kelas Adjunctionhanya mewakili sebagian kecil dari adjunctions, di mana kedua functors adalah endofunctors pada Hask .

Ternyata, ini bukan kasus untuk tambahan (<-:) r -| (<-:) r. Ada dua fungsi yang agak berbeda di sini:

• f = (<-:) r, functor dari Hask ke Op (Hask) (kategori berlawanan dari Hask, terkadang juga dilambangkan dengan Hask ^ op)
• g = (<-:) r, functor dari Op (Hask) ke Hask

Secara khusus, counitharus menjadi transformasi alami dalam kategori Op (Hask), yang membalik panah di sekitar:

unit   :: a -> g (f a)
counit :: f (g a) <-: a

Bahkan, counitbertepatan dengan unitdalam pertemuan ini.

Untuk menangkap ini dengan benar, kita perlu menggeneralisasi Functordan Adjunctionkelas sehingga kita dapat memodelkan tambahan di antara berbagai kategori:

class Exofunctor c d f where
  exomap :: c a b -> d (f a) (f b)

class
  (Exofunctor d c f, Exofunctor c d g) =>
  Adjunction
    (c :: k -> k -> Type)
    (d :: h -> h -> Type)
    (f :: h -> k)
    (g :: k -> h) where
  unit :: d a (g (f a))
  counit :: c (f (g a)) a

Lalu kita dapatkan lagi itu Composeadalah monad (dan comonad jika kita membalik adjuncion):

newtype Compose f g a = Compose { unCompose :: f (g a) }

adjReturn :: forall c f g a. Adjunction c (->) f g => a -> Compose g f a
adjReturn = Compose . unit @_ @_ @c @(->)

adjJoin :: forall c f g a. Adjunction c (->) f g => Compose g f (Compose g f a) -> Compose g f a
adjJoin = Compose . exomap (counit @_ @_ @c @(->)) . (exomap . exomap @(->) @c) unCompose . unCompose

dan Conthanyalah kasus khusus dari itu:

type Cont r = Compose ((<-:) r) ((<-:) r)

Lihat juga intisari ini untuk detail lebih lanjut: https://gist.github.com/Lysxia/beb6f9df9777bbf56fe5b42de04e6c64

Saya telah membaca bahwa mengingat sepasang adjoints mereka membentuk Monad & Comonad yang unik tetapi diberi Monad dapat difaktorisasi menjadi beberapa Faktor. Apakah ada contohnya?

Faktorisasi umumnya tidak unik. Setelah Anda menggeneralisasi adjunctions seperti di atas, maka Anda setidaknya dapat Mmemfaktorkan monad apa pun sebagai adjunction antara kategori Kleisli dan kategori dasarnya (dalam hal ini, Hask).

Every monad M defines an adjunction
  F -| G
where

F : (->) -> Kleisli M
  : Type -> Type                -- Types are the objects of both categories (->) and Kleisli m.
                                -- The left adjoint F maps each object to itself.
  : (a -> b) -> (a -> M b)      -- The morphism mapping uses return.

G : Kleisli M -> (->)
  : Type -> Type                -- The right adjoint G maps each object a to m a
  : (a -> M b) -> (M a -> M b)  -- This is (=<<)

Saya tidak tahu apakah kelanjutan monad sesuai dengan tambahan antara endofunctors pada Hask.

Lihat juga artikel nCatLab tentang monad: https://ncatlab.org/nlab/show/monad#RelationToAdjunctionsAndMonadicity

Kaitannya dengan tambahan dan keanehan

Setiap koneksi (L ⊣ R) menginduksi monad R∘L dan comonad L∘R. Secara umum ada lebih dari satu pertemuan yang memunculkan monad tertentu dengan cara ini, bahkan ada kategori tambahan untuk monad tertentu. Objek awal dalam kategori itu adalah pertemuan atas kategori Kleisli dari monad dan objek terminal adalah bahwa lebih dari kategori aljabar Eilenberg-Moore. (misalnya Borceux, vol. 2, prop. 4.2.2) Yang terakhir ini disebut monadic adjunction.