Pemodelan rangkaian RC secara matematis dengan input linear

8

Saya telah menemukan banyak dokumen dan buku yang memodelkan bagaimana tegangan melintasi kapasitor berperilaku dalam sirkuit RC transien, menggunakan persamaan berikut:

VC=VMAX(1et/RC)

Sayangnya, saya tidak menemukan sumber daya yang membahas cara memodelkan sirkuit RC secara matematis, adalah sumber daya yang memberikan sumber tegangan yang meningkat secara linear sebagai input.

Mencoba untuk mengganti VMAX dalam persamaan di atas, untuk persamaan linear, menghasilkan persamaan yang menyatu ke arah persamaan linear, artinya arus akan berhenti setelah beberapa waktu (I = (VS-VC) / R). Ini jelas tidak benar, karena kita seharusnya melihat pendekatan saat ini nilai konstan dengan waktu, seperti yang diberikan oleh:

IC=CdVdt

Saya menyadari sepenuhnya bagaimana tegangan melintasi kapasitor akan berperilaku dengan sumber tegangan meningkat secara linear, ada banyak simulator yang menampilkan itu, dan saya bahkan dapat memikirkan penjelasan fisik untuk hasilnya. Yang ingin saya ketahui adalah bagaimana seseorang dapat secara matematis memodelkan tegangan pada kapasitor dengan sumber tegangan yang meningkat secara linear, dengan cara yang mirip dengan persamaan yang memodelkan tegangan melintasi kapasitor dalam transien.

CTXz
sumber
3
Persamaan pertama yang Anda gunakan adalah solusi khusus untuk rangkaian seri RC dengan sumber tegangan tetap , dengan (pra) kondisi awal yang ditentukan. Dalam kasus Anda, Anda harus memulai dengan menggambar sirkuit Anda, menerapkan hukum Kirchhoff lagi dan menyelesaikan ODE. Jadi, tidak ada substitusi dalam solusi khusus yang salah .
Huisman
1
Persamaan pertama adalah hasil penyelesaian KVL untuk fungsi langkah. Anda harus menyelesaikan untuk kasus ramp.
Mattman944
Untuk sinyal input umum dan sistem urutan pertama, Anda perlu menyelesaikan persamaan diferensial menggunakan metode faktor pengintegrasian .
Chu
Persamaan pertama Anda adalah respons impuls dari sirkuit RC. Ambil konvolusi dari respons impuls dan fungsi linier Anda. Itu akan memberi Anda output dari rangkaian.
user4574

Jawaban:

13

Sayangnya, saya tidak menemukan sumber daya yang membahas cara memodelkan sirkuit RC secara matematis, adalah sumber daya yang memberikan sumber tegangan yang meningkat secara linear sebagai input.

Jawaban ini adalah semua tentang mengubah sirkuit ke fungsi transfer dalam domain frekuensi kemudian mengalikan TF dengan Transformasi Laplace dari input untuk mendapatkan domain frekuensi yang setara dengan output. Akhirnya, operasi Laplace terbalik dilakukan untuk mendapatkan formula domain waktu untuk output.

Transformasi Laplace dari filter low pass RC adalah: -

11+sRC

Ini adalah fungsi transfer domain frekuensi, jadi, jika Anda mengalikannya dengan domain frekuensi yang setara dengan ramp (1s2) Anda mendapatkan output domain frekuensi: -

1s2(1+sRC)

Menggunakan tabel transfer reverse laplace ini memiliki output domain waktu: -

t+RCe(tRC)RC

Lihat item 32 di atas meja atau, jika rumus tidak memiliki entri tabel yang jelas Anda dapat menggunakan kalkulator laplace terbalik yang menyelesaikannya secara numerik seperti ini .

Kalkulator memungkinkan Anda membuat rumus dan memasukkan nilai numerik untuk RC. Saya menggunakan nilai RC 7 pada contoh di atas sehingga saya bisa melihat bagaimana angka itu disebarkan ke jawaban akhir. Rintangan terakhir adalah mengganti nilai yang diperbanyak dari 7 dengan RC. Dengan kata lain itu adalah pemecah numerik tetapi alat yang sangat berguna harus dimiliki: -

masukkan deskripsi gambar di sini

Andy alias
sumber
2
Solusi luar biasa, tetapi Anda harus menambahkan konstanta untuk laju ramp. Mungkin: vr = Vr * t
Mattman944
@ Mattman944 ​​mungkin saya harus tetapi saya mengasumsikan jalan 1 volt per detik!
Andy alias
Ya, tentu saja 1 V / s, tetapi OP mungkin menginginkan solusi umum.
Mattman944
3
@ Mattman944 ​​Saya pikir diskusi kecil kami akan memberikan cukup petunjuk kepada OP.
Andy alias
7

Untuk sinyal input umum dan sistem urutan pertama, Anda dapat menyelesaikan persamaan diferensial melalui faktor integrasi, (IF), metode * atau Transformasi Laplace, antara lain. Analisis di bawah ini menggunakanIF metode.

Lihat edit, di bawah, untuk penjelasan tentang metode faktor integrasi .

Dengan rangkaian yang Anda gambarkan, persamaan loop adalah:

vi=vR+vC

vi=iR+1Cidt

Membedakan:

dvidt=Rdidt+iC

Mengatur ulang:

didt+iRC=1Rdvidt

Memperhatikan itu τ=RC:

didt+iτ=1Rdvidt

Dalam kasus khusus Anda, vi adalah jalan, dengan demikian: vi=Ktdimana K adalah kemiringan jalan.

Karenanya dvidt=K, dan persamaan yang harus dipecahkan oleh IF metode adalah:

didt+iτ=KR

Itu IF adalah:

IF=e1τdt=etτ

Karena itu:

ietτ=KRetτdt+A

ietτ=KCetτ+A

i=KC+Aetτ

Dengan asumsi kondisi awal adalah nol, SEBUAH=-KC, karenanya:

saya=KC(1-e-tτ)

dan

vc=K(t-τ+τe-tτ)

.................................................. .................................................. ..................................................

Sunting: Memecahkan persamaan diferensial biasa orde 1 (ODE) oleh Integrating Factor (1)sayaF) metode:

Untuk ODE:

dydt+Py=Qdimana P dan Q adalah fungsi dari t (yang mungkin konstanta), kami mengikuti langkah-langkah:

  1. Tentukan faktor pengintegrasian: sayaF=ePdt

  2. Solusi umum kemudian ditemukan dengan memecahkan: y.IF=Q.IFdt+A, where A is an arbitrary constant.

  3. Determine A from the initial condition or a boundary condition, if known.

For example, the ODE: dydt+2y=3, with y(0)=5

Solution: we identify P=2,Q=3

Therefore

IF=e2dt=e2t

Hence

ye2t=3e2tdt+A

ye2t=32e2t+A

Dividing through by e2t

y=1.5+Ae2t

Applying the initial condition:

y(0)=5=1.5+A; hence A=3.5

Giving: y=1.5+3.5e2t

Chu
sumber
3
(+1) But you should explain your abbreviations a little more: what is the IF method for solving a differential equation? I don't know that acronym, and googling it directly doesn't show a direct link. By seeing your calculations I can only guess you mean "Integrating Factor", but I don't think that abbreviation is widespread, so you should link to a source to make the answer more self-contained (If the OP doesn't know the abbreviation or the technique he could well be left wondering why you are doing what you do).
Lorenzo Donati -- Codidact.org
@LorenzoDonati, Thank you for your comments. I've added an edit on the integrating factor method.
Chu
2

May as well add another approach based upon Chu's recommendation:

The standard form for a first order linear differential equation is:

dydt+Pxy=Qx

If you can set things up like that, then your integrating factor (which is a nifty way to solve these) is:

μ=ePxdx

Then then the solution is:

y=1μμQxdx

Suppose the following circuit:

schematic

simulate this circuit – Schematic created using CircuitLab

Then from nodal, you get:

V(t)R+dV(t)dtC=Vs(t)RdV(t)dt+1RCV(t)=Vs(t)RC

Which is in standard form, now.

So, Pt=1RC and Qt=1RCVs(t). Thus, the integrating factor is: μ=etRC and:

V(t)=etRCetRC1RCVs(t)dt=1RCetRCVs(t)etRCdt

You should be able to readily perform the above given a sufficiently simple Vs(t). (Don't forget your constant of integration.)

jonk
sumber
I think you should be more consistant in using subscripts or brackets, e.g. Vt or V(t)
Huisman
@Huisman I agree. I'll make the change.
jonk
0

what you wrote as Vmax can be changed for your voltage that changes over time as long as it is not too much faster than the time constant of the capacitor it should give you a decent model.

If you want a more precise answer, you can Fourier/Laplace transform your input voltage and calculate the reactance for the capacitor at every frequency that you get, solve each and add them together which will give you the final voltage.

The second option that gives a much more accurate solution is quite more complex that the simple first thing I suggested, which can only give an accurate solution if the voltage rises much more slowly than the charging of the capacitor.

edit: as some of the comments mentioned it is also possible to solve the differential equation for a ramp instead of a step.

Juan
sumber