Misalkan saya memiliki jaringan RLC dalam kotak hitam, dan saya memukulnya keras di lab untuk mendapatkan respons impuls. Saya memiliki dua opsi sekarang, saya dapat mengambil transformasi Fourier atau saya dapat mengambil transformasi Laplace untuk mendapatkan respons frekuensi. Bagaimana saya tahu yang mana yang harus dipilih dan apa perbedaan fisik antara masing-masing?
Saya telah diberitahu bahwa Transformasi Laplace juga memberi Anda respon sementara atau pembusukan sedangkan Transformasi Fourier tidak. Apakah ini benar? Jika saya tiba-tiba menerapkan sinyal sinusoidal pada input, maka harus ada respon sementara untuk periode waktu singkat di mana output bukan sinusoid sampai sistem menetap. Dapatkah seseorang memberi saya contoh praktis dalam hal jaringan RLC untuk menunjukkan bagaimana ini benar?
Juga, sering di kelas sirkuit, kita mengambil Transformasi Laplace dari sirkuit di mana bagian sebenarnya diasumsikan nol, jadi ketika kita gunakan untuk menunjukkan transformasi Laplace kapasitor, diasumsikan bahwa ini setara dengan . Saya percaya bagian yang sebenarnya adalah nol karena arus yang melalui kapasitor adalah 90 derajat keluar dari fase dengan tegangan yang melintasi - apakah ini benar? Saya pikir transformasi Fourier sama dengan Transformasi Laplace. Namun, itu tampaknya tidak benar - pertimbangkan:
Kita bisa melihat itu bahkan jika saya gantikan tanpa bagian nyata pada output dari transformasi Laplace, mereka masih tidak sama. Bagaimana transformasi Fourier memiliki komponen impuls tambahan tetapi Laplace tidak? Kapan saya bisa mengganti? dan berharap transformasi Fourier sama dengan transformasi Laplace?
Sunting: bagian terakhir dari pertanyaan saya memiliki jawaban di sini dan di sini .
sumber
Ok, jadi Anda menggedor kotak hitam yang terbuat dari komponen RLC dan Anda mengukur respons - respons impuls. Sekarang Anda ingin mengetahui respons frekuensi, artinya respons terhadap sinusoidal apa pun.
Pertama-tama, Anda tidak dapat benar-benar membangkitkan sistem Anda dengan sinusoidal murni. Sudah terlambat, Anda harus mulai dengan big bang. Yang terbaik yang dapat Anda lakukan adalah menggunakan sinusoidal kausal, yang memiliki komponen frekuensi ekstra.
Tetapi katakanlah apa yang ingin Anda ketahui adalah respons sistem terhadap input sewenang-wenang dalam domain waktu. Anda tidak benar-benar membutuhkan Fourier atau Laplace untuk mengetahui hal ini. Konvolusi akan berhasil.
Apa yang ada di tangan, sungguh? Anda mengukur respons impuls. Entah bagaimana Anda merencanakannya, katakanlah terus menerus, sebagai lawan dari ADC yang mengambil sampel sinyal - yang biasanya apa yang terjadi, dan Anda akan bertanya tentang Z-transform vs FFT sebagai gantinya. Mari kita juga berasumsi bahwa ledakan yang Anda berikan itu adalah delta yang bagus: kuat tetapi pendek.
Karena sistem Anda adalah RLC, itu linier, jadi prinsip superposisi berfungsi (toh kita tidak akan membicarakan hal ini sebaliknya). Setiap input dapat dibangun dengan menambahkan impuls yang dilemahkan dalam waktu (semacam - itu adalah hal yang membatasi). Jadi total respon hanyalah menambahkan semua respon individual ini bersama-sama. Tambahan ini persis seperti yang dilakukan oleh input konvolusi (t) * impulseResponse (t). Anda dapat mempertimbangkan sistem RLC sebagai "konvolusi perangkat keras". Ini mungkin cara paling akurat untuk memprediksi respons terhadap input yang berubah-ubah.
Sekarang saya ingin mengklarifikasi sesuatu, yaitu bagaimana Laplace berhubungan dengan Fourier. Domain kami adalah fungsi kausal, karena tidak masuk akal untuk membandingkan Laplace unilateral dengan Fourier sebaliknya. Selain itu, semua sinyal nyata bersifat kausal. Secara matematis, Transformasi Laplace hanyalah Transformasi Fourier dari fungsi yang telah dikalikan dengan eksponensial yang membusuk. Sesederhana itu. Jadi jika transformasi Fourier tidak ada karena integralnya tidak terbatas, Laplace mungkin masih ada jika eksponensial yang membusuk cukup kuat, karena integrasi fungsi 'dilemahkan' akan menyatu. Dari sudut pandang matematika, ini bisa sangat berguna dalam kasus-kasus tertentu.
Tetapi yang Anda benar-benar inginkan adalah membuat sistem kontrol untuk pabrik Anda. Dalam hal itu, apa yang Anda lakukan adalah memeriksa respons dan kemudian memperkirakannya dengan model pesanan 1 atau 2 ditambah penundaan kelompok. Jadi itu tidak akan tepat, tetapi dengan melakukan ini Anda membuang semua detail kecil dari respon aktual, dan mendapatkan keuntungan luar biasa karena dapat menyambungkan model ini ke persamaan kontrol dan algoritma dan puluhan buku pengetahuan teori kontrol. dan merancang dan mensimulasikan sistem kontrol Anda. Jika demikian, Anda akan menggunakan model Laplace, karena segera dapatkan kutub dan nol yang dapat digunakan untuk analisis stabilitas.
sumber