Regresi linier dengan fungsi biaya non-simetris?

Saya ingin memprediksi beberapa nilai dan saya mencoba untuk mendapatkan beberapa prediksi yang mengoptimalkan antara serendah mungkin, tetapi masih lebih besar dari$Y(x)$$\hat Y(x)$$Y(x)$

Saya pikir regresi linier sederhana harus baik-baik saja. Jadi saya agak tahu bagaimana menerapkan ini secara manual, tapi saya kira saya bukan yang pertama dengan masalah seperti ini. Apakah ada paket / pustaka (lebih disukai python) di luar sana melakukan apa yang ingin saya lakukan? Apa kata kunci yang perlu saya cari?

Bagaimana jika saya tahu fungsi mana Y (x)> Y_0 (x) . Apa cara terbaik untuk menerapkan pembatasan ini?$Y_0(x) > 0$$Y(x) > Y_0(x)$

Jika saya mengerti Anda dengan benar, Anda ingin berbuat salah di sisi perkiraan terlalu tinggi. Jika demikian, Anda memerlukan fungsi biaya asimetris yang sesuai. Satu kandidat sederhana adalah untuk mengubah kerugian kuadrat:

$\mathcal L: (x,\alpha) \to x^2 \left( \mathrm{sgn} x + \alpha \right)^2$

di mana adalah parameter yang dapat Anda gunakan untuk menukar penalti perkiraan terlalu rendah terhadap perkiraan terlalu tinggi. Nilai positif dari menghukum penilaian berlebihan, jadi Anda ingin mengatur negative. Dalam python ini terlihat seperti$-1 < \alpha < 1$$\alpha$$\alpha$def loss(x, a): return x**2 * (numpy.sign(x) + a)**2

Selanjutnya mari kita menghasilkan beberapa data:

import numpy
x = numpy.arange(-10, 10, 0.1)
y = -0.1*x**2 + x + numpy.sin(x) + 0.1*numpy.random.randn(len(x))

Akhirnya, kami akan melakukan regresi kami di tensorflow, pustaka pembelajaran mesin dari Google yang mendukung diferensiasi otomatis (membuat optimasi berbasis gradien dari masalah seperti itu lebih mudah). Saya akan menggunakan contoh ini sebagai titik awal.

import tensorflow as tf

X = tf.placeholder("float") # create symbolic variables
Y = tf.placeholder("float") 

w = tf.Variable(0.0, name="coeff")
b = tf.Variable(0.0, name="offset")
y_model = tf.mul(X, w) + b

cost = tf.pow(y_model-Y, 2) # use sqr error for cost function
def acost(a): return tf.pow(y_model-Y, 2) * tf.pow(tf.sign(y_model-Y) + a, 2)

train_op = tf.train.AdamOptimizer().minimize(cost)
train_op2 = tf.train.AdamOptimizer().minimize(acost(-0.5))

sess = tf.Session()
init = tf.initialize_all_variables()
sess.run(init)

for i in range(100):
    for (xi, yi) in zip(x, y): 
#         sess.run(train_op, feed_dict={X: xi, Y: yi})
        sess.run(train_op2, feed_dict={X: xi, Y: yi})

print(sess.run(w), sess.run(b))

costadalah kesalahan kuadrat biasa, sedangkan acostfungsi kerugian asimetris tersebut di atas.

Jika Anda menggunakan costAnda dapatkan

1,00764 -3,32445

Jika Anda menggunakan acostAnda dapatkan

1.02604 -1.07742

acostjelas berusaha untuk tidak meremehkan. Saya tidak memeriksa konvergensi, tetapi Anda mendapatkan ide.

Pilih fungsi kerugian asimetris. Salah satu opsi adalah regresi kuantil (linier tetapi dengan kemiringan berbeda untuk kesalahan positif dan negatif).