Penutupan di bawah jumlah Minkowski.

10

Jumlah Minkowski dari dua set vektor diberikan olehA,B∈Rd

A⊕B={a+b∣a∈A,b∈B}

Saya baru saja mendengar masalah yang menarik (dikaitkan dengan Dan Halperin): Diberi bentuk , apakah ada bentuk A sehingga A ⊕ A = B ?BAA⊕A=B

Tapi itu bukan pertanyaan saya (sepertinya masalah terbuka). Mengamati bahwa dalam masalah di atas, jika adalah satu set cembung, maka ada solusi A = ( 1 / 2 ) B sejak set cembung ditutup di bawah pengambilan jumlah Minkowski.BA=(1/2)B

Perbaiki kelas bentuk . Kami mengatakan bahwa S adalah ditutup di bawah jumlah Minkowski jika untuk setiap A , B ∈ S , A ⊕ B ∈ S .SSA,B∈S,A⊕B∈S

Jadi pertanyaan saya adalah:

Apakah ada karakterisasi yang bagus dari kelas bentuk yang ditutup di bawah jumlah Minkowski?S

cg.comp-geom Suresh Venkat
sumber
Jukka: Saya memperbarui pertanyaan.
Suresh Venkat
1
Saya membaca revisi 2. (1) Saya gagal melihat bagaimana “set cembung ditutup dengan mengambil jumlah Minkowski” adalah alasan untuk “ada solusi A = (1/2) B” (walaupun kedua fakta jelas). (2) Saya ragu bahwa ada karakterisasi setara yang lebih bagus daripada "ditutup dengan jumlah Minkowski."
Tsuyoshi Ito
Memang benar tidak ada implikasi langsung. Tapi buktinya menggunakan fakta bahwa jumlah dua set cembung adalah cembung. Saya bisa menulis ulang untuk mengatakan "perhatikan juga .." bukan "sejak ..."
Suresh Venkat
2
Saya tidak berpikir bahwa kita menggunakan fakta bahwa jumlah Minkowski dari dua set cembung adalah cembung ketika membuktikan (B / 2) ⊕ (B / 2) = B untuk set cembung B. Penahanan (B / 2) ⊕ (B / 2) ⊇B tidak ada hubungannya dengan kecemburuan. Kontainmen (B / 2) ⊕ (B / 2) ⊆B mengikuti dari fakta bahwa B adalah cembung: untuk setiap x, y∈B, (x / 2) + (y / 2) ∈B karena kecembungan dari B.
Tsuyoshi Ito
1
@Yoshio: itu mungkin. Pertanyaan ini juga bisa dikaitkan dengan pekerjaan 'merangkum' dalam kelompok umum juga.
Suresh Venkat

Jawaban:

6

Kisi dan ruang bagian linier ditutup di bawah jumlah Minkowski. Itu kurang lebih langsung dari definisi mereka. Kisi + ruang bagian linear ditutup di bawah jumlah Minkowski (yaitu, anggota himpunan ini misalnya seperangkat garis paralel dalam jarak 1 dari satu sama lain). Poligon terhubung dengan lubang ditutup di bawah jumlah Minkowski. Dering [perbedaan set dua disk konsentris] ditutup di bawah jumlah Minkowski (disk dianggap sebagai cincin, secara alami). Himpunan segmen garis sejajar dengan arah tertentu ditutup di bawah jumlah Minkowski. Kentang goreng ditutup di bawah jumlah Minkowski, tetapi hanya jika mereka dimasak dengan baik (atau mungkin tidak, sudah terlambat) ...

Juga, keluarga penyatuan terbatas cincin konsentris ditutup di bawah jumlah Minkowski.

Sariel Har-Peled
sumber