Aplikasi geometri aljabar dalam teori tipe / teori bahasa pemrograman

Akhir-akhir ini, saya menjadi tertarik pada geometri aljabar dan mulai membaca tentangnya. Saya masih tahu sedikit tentang bidang ini, tetapi saya ingin tahu apakah itu ada hubungannya dengan bidang utama saya, teori jenis dan bahasa pemrograman.

Saya tahu topologi aljabar memiliki banyak aplikasi dalam teori tipe (teori tipe homotopy, dan banyak lagi), tetapi bagaimana dengan geometri aljabar, selain itu baik teori tipe / teori PL dan AG adalah motivator yang baik untuk teori kategori?

Sepengetahuan saya (yang jelas tidak lengkap), ada relatif sedikit pekerjaan dalam hal ini, mungkin karena ini membutuhkan asimilasi dua badan pengetahuan yang relatif rumit. Namun, sedikit tidak berarti tidak ada. Thierry Coquand dan rekan-rekannya telah menulis beberapa makalah tentang hubungan antara aljabar komutatif dan logika konstruktif.

• Thierry Coquand, Henri Lombardi. Pendekatan logis untuk aljabar abstrak .

  Makalah ini membuat kesan besar pada saya sebagai mahasiswa pascasarjana - cara percaya diri dan bebas yang menggunakan ide-ide dari teori bukti dan teori model untuk melakukan nontrivial, matematika yang tepat adalah salah satu yang saya sangat kagumi, dan saya masih bercita-cita.

• Henri Lombardi dan Claude Quitté memiliki buku teks (tersedia gratis), Aljabar komutatif: Metode konstruktif .

  Seperti judulnya, ini adalah aljabar komutatif daripada geometri aljabar, tetapi karena aljabar komutatif menyediakan banyak infrastruktur untuk geometri aljabar, ini masih akan menarik.

Ada juga sejumlah tesis PhD yang sangat menarik di bidang ini:

• Tesis PhD Andres Mörtberg Memformalkan Penyempurnaan dan Aljabar Konstruktif dalam Tipe Teori

  Setelah Anda memiliki bukti konstruktif, Anda punya algoritma. Tesis ini membahas membuat algoritma tersebut efisien.

• Tesis PhD Bassel Mannaa, Semafik Sheaf dalam Aljabar Konstruktif dan Teori Tipe

  Dalam tesis ini, ia membuktikan kebenaran teorema Newton-Puiseux secara konstruktif, serta independensi prinsip Markov. Ini menawarkan contoh yang bagus tentang bagaimana metode semantik-semantik memiliki aplikasi dalam geometri dan logika.

• Tesis PhD Ingo Blechschmidt, Menggunakan bahasa internal toposa dalam geometri aljabar,

  Tesis ini membahas pengulangan banyak bukti geometri aljabar yang biasa dalam bahasa internal topos Zariski kecil yang terkait dengan suatu skema, menghasilkan semacam "geometri aljabar sintetik". (Dia juga melakukan "teori skema sintetis" menggunakan topos Zariski besar). Seperti yang Anda harapkan, karena topoi umumnya bukan Boolean, buktinya harus dilakukan dengan gaya intuitionistic.

Ada baiknya juga merujuk referensi berikut:

• Saunders Mac Lane, Ieke Moerdijk. Berkas gandum dalam Geometri dan Logika Berkas gandum dalam Geometri dan Logika: Pengantar pertama untuk teori topos .

  Banyak teknologi yang digunakan dalam pekerjaan ini datang melalui koneksi antara teori topos, logika dan geometri. Ini adalah referensi standar, meskipun saya lebih banyak mempelajarinya melalui surat kabar Steve Vickers.

Ini mungkin bukan yang Anda cari, tetapi satu aplikasi geometri aljabar dalam bahasa pemrograman adalah analisis loop linear:

Lingkaran linier adalah program bentuk yang sangat sederhana:

$x=s$

$x\notin F$

$x\leftarrow Ax$

$s,x\in \mathbb Q^d$$A\in \mathbb Q^{d\times d}$$F$

$A$$\{A^ns: n\in \mathbb N\}$$A$

Anda dapat melihat makalahnya Pada Kompleksitas Masalah Orbit sebagai titik awal yang baik.