Memformalkan teori Tipe Homotopy di Idris

Melihat blog teori tipe homotopy seseorang dapat dengan mudah menemukan banyak perpustakaan memformalkan sebagian besar Teori Tipe Homotopy di Agda dan Coq.

Adakah yang tahu jika ada upaya serupa untuk memformalkan HoTT di Idris ?

proof-assistants homotopy-type-theory Giorgio Mossa
sumber

Saya tidak mengetahui adanya, dan saya berharap kita mungkin akan mendengarnya jika ada yang mencoba (atau setidaknya jika mereka berhasil).

Mike Shulman

@MikeShulman Bukankah seharusnya sistem tipe Idris dan Agda pada dasarnya setara? Dalam hal itu, mungkin juga untuk memformalkan HoTT di Idris juga, bukan?

Giorgio Mossa

Idris lebih berorientasi pada pemrograman. Satu hal yang akan membuat saya khawatir adalah apakah itu setara dengan Agda postulateatau Coq Axiom. Jika ya, bagaimana cara menghitungnya (itu bahasa yang dikompilasi)? Intinya adalah bahwa aksioma univalensi perlu ditingkatkan postulated.

Andrej Bauer

Aku tentu saja tidak bermaksud mengatakan aku tidak berpikir itu mungkin! Saya tidak tahu ada orang yang sudah mencobanya. Saya tidak tahu apa-apa tentang Idris.

Mike Shulman

Saya berharap Idris memungkinkan Anda membuktikan aksioma Streicher (keunikan bukti identitas) melalui pencocokan pola (seperti yang dilakukan Agda hingga saat ini), yang akan menjadi masalah bagi HoTT.

Neel Krishnaswami

Jawaban:

Berikut ini adalah formalisasi HoTT yang kecil, tidak lengkap, dan tidak konsisten di Idris. Ini menunjukkan bahwa Anda dapat memperoleh kontradiksi di Idris hanya dengan mendalilkan univalence. Ada dua hambatan untuk memformalkan HoTT di Idris saat ini.

Penghalang 1: Idris memiliki kesetaraan heterogen dan penulisan ulang kesetaraan heterogen. Dari perspektif HoTT ini berarti kita memiliki akses ke prinsip penulisan ulang berikut ini, yang tidak sesuai dengan univalensi: Dengan prinsip ini,kita dapat dengan mudah membuktikan.

\prod_{P : X \to T y hal e} \prod_{x : X} \prod_{hal : x = x} \prod_{Sebuah, b : P x} (t r Sebuah n s hal Hai r t P hal Sebuah = b) \to (Sebuah = b)

$\prod_{P \,:\, X \to \mathsf{Type}}\ \prod_{x\,:\,X}\ \prod_{p \,:\, x = x}\ \prod_{a,\,b \,:\, P\, x} (\mathsf{transport}\ P\ p\ a = b) \to (a = b)$ True = False

Barrier 2: Pencocokan pola di Idris terlalu kuat untuk HoTT, seperti yang dicurigai Neel Krishnaswami dalam komentar di atas. Kita dapat memperoleh K. Streicher. Hal ini mengarah pada keunikan bukti identitas, dan karenanya tidak sesuai dengan univalensi. Kami dapat sekali lagi menunjukkan True = False.

Francisco Mota
sumber