Salah satu masalah terbuka yang menarik tentang DFA yang terdaftar di Apakah ada masalah terbuka yang tersisa tentang DFA? adalah ukuran DFA yang diperlukan untuk memisahkan dua string panjang . Saya ingin tahu apakah ada hasil tentang kemampuan DFA acak untuk memisahkan dua string (nonrandom) yang diberikan.
Jelas DFA acak dengan banyak negara cukup memisahkan string dengan probabilitas tinggi. Secara khusus, jika , DFA acak dengan status tidak mungkin untuk mengunjungi kembali kondisi yang sama setelah mencapai tempat pertama di mana dan berbeda, dan oleh karena itu memisahkan dan .
Bisakah kita berbuat lebih baik? Idealnya, apa yang terkecil st bahwa DFA acak dengan f ( n ) string negara memisahkan panjang n dengan probabilitas positif (atau mungkin probabilitas ≥ 1 / 2 )? Pencarian singkat tidak menghasilkan banyak hasil pada properti DFA acak; yang bisa saya temukan adalah http://arxiv.org/abs/1311.6830 .
sumber
Jawaban:
[Sunting: jawaban ini tidak berfungsi, lihat komentar.]
Ini hanya ide informal dan saya tidak tahu apakah itu membantu, tetapi terlalu lama untuk diberikan sebagai komentar. Juga, saya sama sekali tidak akrab dengan DFA acak, jadi mungkin saya memiliki intuisi yang salah tentang bagaimana Anda harus mempertimbangkan probabilitas pada mereka, tetapi mudah-mudahan ini tidak sepenuhnya tidak berharga.
Saya akan mengira bahwa batasan Anda harus bergantung pada seberapa besar perbedaan dan v ; jika tidak, jelas bagi saya bahwa kasus terburuk adalah string berbeda hanya dengan karakter pertama mereka (string berbeda pada set X posisi memiliki lebih banyak peluang untuk dibedakan daripada string berbeda pada set Y ⊂ X posisi , Saya katakan, dan menempatkan perbedaan sedini mungkin memberi Anda kesempatan untuk melakukan sinkronisasi ulang).u v X Y⊂X
Saya juga akan melihat probabilitas bahwa kata-kata dibedakan, yaitu, mereka mencapai keadaan yang berbeda. Saya kira Anda kemudian perlu beradaptasi agar diterima atau ditolak berdasarkan bagaimana DFA acak Anda mengalokasikan status akhir. Jika setiap negara bagian memiliki probabilitas 1/2 menjadi final, maka ketika string berakhir pada keadaan yang sama mereka tidak dibedakan, dan ketika mereka berakhir di negara yang berbeda mereka memiliki probabilitas 1/2 dibedakan.
Sekarang saya akan mempertimbangkan kata diperoleh dari u dan v sebagai berikut: w i = 1 jika u i = v i , dan w i = 0 sebaliknya. Saya pikir jelas bahwa w adalah satu-satunya hal yang menarik untuk dipertimbangkan tentang u dan v .w u v wi=1 ui=vi wi=0 w u v
Sekarang, tentukan probabilitas bahwa kita berada pada keadaan yang sama setelah membaca awalan panjang i dari u dan v , dan q ( i ) = 1 - p ( i ) probabilitas bahwa kita tidak.p(i) i u v q(i)=1−p(i)
Saya pikir kita memiliki ketika w i + 1 adalah 1 . Secara intuitif, kita berada dalam keadaan yang sama setelah membaca huruf i + 1 baik ketika kita berada di keadaan yang sama setelah membaca i , atau ketika kita berada di dua negara (acak) yang berbeda, kita menggambar dua transisi ke keadaan acak, dan mereka kebetulan menjadi sama. Demikian juga, kita memiliki p ( i + 1 ) = 1p(i+1)=p(i)+q(i)/n wi+1 1 i+1 i p(i+1)=1/n when wi+1 is 0 : you are drawing two random states, no matter where you started from.
From this I think you could compute the probability of being at the same state after readingu and v .
sumber