Bagian mana dari teori tipe homotopy yang tidak mungkin dalam Agda atau Coq?

Ketika kita melihat buku, Homotopy Type Theory - kita melihat topik-topik berikut:

Homotopy type theory 
2.1 Types are higher groupoids
2.2 Functions are functors
2.3 Type families are fibrations
2.4 Homotopies and equivalences
2.5 The higher groupoid structure of type formers
2.6 Cartesian product types
2.7 S-types
2.8 The unit type
2.9 P-types and the function extensionality axiom
2.10 Universes and the univalence axiom
2.11 Identity type
2.12 Coproducts
2.13 Natural numbers
2.14 Example: equality of structures
2.15 Universal properties

Sekarang kita tahu bahwa tidak semua teori tipe homotopy mungkin adalah Agda dan Coq .

Pertanyaan saya adalah: Bagian mana dari teori tipe homotopy yang tidak mungkin dalam Agda atau Coq?

Jika Anda melihat Catatan pada Bab 8, Anda akan melihat apa yang sudah telah diformalkan, dan saya pikir itu banyak. Ada perpustakaan Coq HoTT dan perpustakaan Agda HoTT-Agda yang meresmikan potongan besar dari Teori Tipe Homotopy.

Untuk menyelesaikannya dalam Coq, kami membutuhkan versi khusus Coq yang ditambal hanya untuk keperluan HoTT. Namun, Coq bergerak ke arah yang mendukung teori tipe homotopy, jadi tak lama kita mungkin bisa melakukannya dengan Coq standar.

Di Agda kita harus mengaktifkan --without-Kopsi, jika tidak Agda berpikir semua tipe adalah 0-tipe. Ada beberapa keraguan yang tersisa tentang apakah --without-Kbenar-benar menghilangkan asumsi bahwa semuanya adalah 0-set, atau mungkin orang dapat memperkenalkannya kembali ke Agda dengan penggunaan pola yang cocok.

Aspek formalisasi Coq dan Agda berikut tidak memuaskan:

1. Aksioma Univalence dinyatakan sebagai hipotesis. Akan lebih baik jika dibangun ke dalam sistem. Secara khusus kami ingin Coq dan Agda memahami aturan perhitungan tentang aksioma Univalence.

2. Demikian juga, kita harus menggunakan peretasan untuk mendapatkan tipe induktif lebih tinggi yang bisa diterapkan. Sekali lagi, akan lebih baik untuk memiliki dukungan langsung.

Masalah dengan kekurangan di atas adalah bahwa tidak ada yang tahu bagaimana cara memperbaikinya bahkan secara teori. Ini adalah area penelitian aktif.

Selain itu, saya pikir itu adil untuk mengatakan bahwa Hott dapat akan banyak dilakukan di Coq dan Agda, hanya saja tidak dengan cara yang optimal.

Sejauh yang saya mengerti, di Agda adalah mungkin untuk mewakili semua itu (yaitu semua Bab 2 - ada perpustakaan di github yang tidak; AFAIK, hal yang sama berlaku untuk Coq). Hanya ketika Anda sampai ke bab-bab selanjutnya hal-hal menjadi tidak pasti. Ada dua item yang jelas:

1. Lingkaran. Ini diwakili (dalam Agda) menggunakan postulat , dan tidak sebagus hal-hal lain.
2. $\infty$-groupoids. Tetapi ini adalah masalah terbuka tentang bagaimana mewakili banyak hukum koherensi yang tak terbatas.

Ada barang-barang lain juga, tetapi saya belum sempat membaca bagian dari formalisasi Agda ... Tetapi pada umumnya, sebagian besar HoTT dapat diformalkan dengan baik dalam Agda dan Coq.

Lebih penting lagi, kedua tim pengembang secara aktif bekerja mengadaptasi sistem mereka sehingga lebih banyak HoTT dapat ditangani, setidaknya setiap kali ada teori yang jelas tentang bagaimana menerapkan fitur yang dibutuhkan. Itu ternyata menjadi bagian yang menantang.