Pertimbangkan bahasa yang terdiri dari semua -surat string lebih sehingga tidak ada dua huruf yang sama:
Bahasa ini terbatas dan karenanya teratur. Khususnya, jika , lalu.
Apakah otomat terbatas non-deterministik terkecil yang menerima bahasa ini?
Saat ini saya memiliki batasan longgar atas dan bawah:
NFA terkecil yang dapat saya buat memiliki menyatakan.
Lemma berikut menyiratkan batas bawah status :
Biarkan menjadi bahasa biasa. Misalkan ada pasangan sehingga jika dan hanya jika . Maka setiap NFA yang menerima L memiliki setidaknya n status.
- Batas bawah (sepele) lainnya adalah , yang merupakan log dengan ukuran DFA terkecil untuk bahasa tersebut.
Saya juga tertarik pada NFA yang hanya menerima sebagian kecil ( ) dari , jika ukuran automaton lebih kecil dari .
Sunting: Saya baru saja memulai karunia yang memiliki kesalahan dalam teks.
Maksud saya, kita dapat mengasumsikan sementara saya menulis .
Sunting2:
Karunia akan segera berakhir, jadi jika ada yang tertarik dengan cara yang mungkin lebih mudah untuk mendapatkannya, pertimbangkan bahasa berikut:
berisi simbol yang berbeda dan tidak ada simbol yang muncul lebih dari kali .
(Yaitu ).
Konstruksi yang mirip dengan yang ada di komentar memberikan otomat berukuran untuk .
Bisakah ini diperbaiki? Apa batas bawah terbaik yang bisa kami tunjukkan untuk bahasa ini?
Jawaban:
Ini bukan jawaban tetapi metode yang saya percaya akan meninggalkan batas bawah yang lebih baik. Mari kita memotong masalah setelah surat yang dibaca. Menunjukkan keluarga unsur set oleh dan keluarga elemen set oleh . Nyatakan status yang dapat dijangkau setelah membaca elemen (dalam urutan apa pun) oleh dan status dari mana status penerima dapat dicapai setelah membaca elemen (dalam urutan apa pun) oleh . Kita membutuhkan jika dan hanya jikaa a [n] A b=k−a [n] B A SA B TB SA∩TB≠∅ A∩B=∅ . Ini sudah memberikan batas bawah untuk jumlah negara yang diperlukan dan saya pikir itu bisa memberikan sesuatu yang non-sepele.
Masalah ini pada dasarnya meminta batas bawah pada jumlah simpul dari sebuah hypergraph yang grafik garisnya (sebagian) diketahui. Masalah serupa dipelajari misalnya, oleh Bollobas dan ada beberapa metode bukti yang diketahui yang dapat berguna.
Pembaruan 2014.03.24: Sebenarnya jika hypergraph di atas dapat direalisasikan pada simpul , maka kita juga mendapatkan protokol kompleksitas komunikasi non-deterministik panjang untuk mengatur disjointness dengan input set ukuran dan (sebenarnya keduanya masalahnya setara). Kemacetan tentu saja ketika , untuk ini saya hanya bisa menemukan yang berikut dalam buku Eyal dan Noam: dibuktikan oleh argumen probabilistik standar. Sayangnya saya tidak bisa (belum) menemukan batas bawah yang cukup baik pada masalah ini tetapi dengan asumsi di atas tajam, itu akan memberikan batas bawahs logs a b a=b=k/2 N1(DISJa)≤log(2kloge(na)) Ω(2klogn) menyatukan dua batas bawah yang telah Anda sebutkan.
sumber
Beberapa pekerjaan dalam proses:
Saya mencoba membuktikan batas bawah . Berikut adalah pertanyaan yang saya yakin akan memberikan batas yang lebih rendah: temukan minimum sehingga ada fungsi yang menjaga disjointness, yaitu iff . Saya cukup yakin bahwa batas bawah akan segera menyiratkan batas bawah untuk masalah kita. kasar sesuai dengan set node yang NFA dapat dapatkan setelah membaca simbol pertama dari input, ketika himpunan4k t f:{S⊆[n],|S|=k/2}→{0,1}t S1∩S2=∅ f(S1)∩f(S2)=∅ t≥2k 22k=4k f(S) k/2 k/2 simbol adalah .S
Saya pikir solusi untuk pertanyaan ini mungkin sudah diketahui, baik dalam literatur kompleksitas komunikasi (terutama dalam makalah yang berurusan dengan masalah ketidakjelasan; mungkin beberapa argumen peringkat matriks akan membantu), atau dalam literatur tentang pengkodean (misalnya seperti ini ).
sumber