Menghitung jumlah daerah tebal yang tumpang tindih dengan persegi

Biarkan menjadi satuan persegi. Sebagai fungsi dari , berapakah jumlah maksimum dari -fat berpasangan-berpisah dengan diameter setidaknya 1 yang dapat memotong ?$S$$\beta$$\beta$$S$

Di bawah, kami memberikan angka yang menunjukkan bahwa untuk , jumlah maksimumnya adalah 7. Bagaimana dengan ?$\beta=1$$\beta = 2, 3, \ldots, n$

Ingat definisi lemak untuk daerah di pesawat. Mengingat daerah , biarkan lingkaran dari radius menjadi lingkaran terbesar yang terkandung dalam , dan membiarkan lingkaran dari radius menjadi lingkaran terkecil yang berisi . The kegemukan dari diberikan oleh , dan kami mengatakan bahwa adalah -fat, untuk .$R$$C_1$$r_1$$R$$C_2$$r_2$$R$$R$$\frac{r_2}{r_1}$$R$$\beta$$\beta = \frac{r_2}{r_1}$

Misalnya, jika , maka daerah adalah lingkaran satuan, dan ada pada 7 lingkaran dengan diameter setidaknya 1 yang dapat tumpang tindih tanpa saling tumpang tindih. Pada gambar di bawah ini, kami telah menggambarkan satuan persegi dan 7 satuan lingkaran yang tumpang tindih dengan persegi.$r_2 = r_1=\frac{1}{2}$$S$

Saya berpikir bahwa jumlah maksimum daerah lemak berpasangan berpasangan yang tumpang tindih persegi harus sangat terkait dengan kemasan lingkaran.

Bentuk kasus terburuk untuk suatu wilayah adalah sesuatu seperti "bola & rantai". Di bawah ini saya menggambarkan wilayah seperti untuk dengan diameter 1$\beta=2$

.

dan ini dapat dikemas dalam jarak 1 dari unit square jelas jauh lebih erat daripada yang saya gambarkan.

Perhatikan bahwa wilayah bola & rantai yang sebenarnya ditentukan oleh area hijau, dan lingkaran luar hanyalah panduan untuk menggambarkan fakta bahwa wilayah ini memiliki kegemukan 2. Faktanya, bagian rantai dari wilayah tersebut, dapat "menekuk" untuk memungkinkan lebih banyak daerah untuk dikemas.