Pi salah

Metode komputasi pi yang umum adalah dengan melemparkan "anak panah" ke dalam kotak 1x1 dan melihat tanah mana dalam satuan lingkaran dibandingkan dengan total yang dilemparkan:

loop
   x = rand()
   y = rand()
   if(sqrt(x*x + y*y) <= 1) n++
   t++
pi = 4.0*(n/t)

Tulislah sebuah program yang kelihatannya harus menghitung pi dengan benar (menggunakan pi ini atau metode umum lainnya dalam menghitung pi) tetapi hitung tau (tau = 2 * pi = 6.283185307179586 ...) sebagai gantinya. Kode Anda harus menghasilkan setidaknya 6 desimal pertama: 6.283185

Pemenang dimahkotai 6 Juni (satu minggu dari hari ini).

JavaScript

alert(Math.atan2(0, -0) - Math.atan2(-0, -0) + Math.atan2(0, 0))

Tolong, saya terjebak di pabrik alam semesta , dan saya tidak yakin apa yang saya lakukan. Math.atan2seharusnya mengembalikan pi dengan nilai bagus, kan? Math.atan2(0, -0)mengembalikan pi, jadi jika saya kurangi, dan tambahkan, saya harus tetap memiliki pi.

DASAR

(Lebih khusus, Chipmunk Basic )

Ini menggunakan seri tak terbatas yang ditemukan oleh Nilakantha Somayaji di abad ke-15:

' Calculate pi using the Nilakantha series:
'               4       4       4       4
'  pi  =  3 + ----- - ----- + ----- - ------ + ...
'             2x3x4   4x5x6   6x7x8   8x9x10
i = pi = 0
numerator = -4
while i<10000
  i = i + 2
  numerator = -numerator
  pi = pi + numerator / (i * (i+1) * (i+2))
wend
pi = pi + 3
print using "#.##########";pi

Keluaran

6.2831853072

Jika Anda tidak tahu apa yang sedang terjadi, berikut adalah beberapa petunjuk:

Dalam Chipmunk Basic, pi variabel diatur ke nilai π saat program mulai berjalan.

dan

Dalam BASIC, tanda sama dengan digunakan untuk menentukan variabel dan untuk menguji kesetaraan. Jadi a = b = c ditafsirkan sebagai a = (b == c) .

C - Panjang setengah lingkaran unit

Salah satu cara untuk menghitung π adalah hanya untuk mengukur jarak titik (1, 0)perjalanan ketika berputar di sekitar asal untuk (-1, 0)karena akan setengah keliling lingkaran satuan (yang 2π ).

Namun, tidak ada sin(x)atau cos(x)diperlukan karena ini dapat dilakukan dengan melangkah di sekitar titik asal dan menambahkan jarak yang ditempuh titik untuk setiap langkah . Semakin kecil ukuran untuk setiap langkah, semakin akurat π yang akan Anda dapatkan.

Catatan: Langkah ini akan berakhir ketika y di bawah nol (yang sama seperti saat melewati (-1, 0)).

#include <stdio.h>                          // for printf
#define length(y, x) ((x * x) + (y * y))
int main()
{
    double x, y;
    double pi, tau, step;
    // start at (2, 0) which actually calculates tau
    x  = 2;
    y  = 0;
    // the step needs to be very low for high accuracy
    step = 0.00000001;  
    tau = 0;
    while (y >= 0)
    {   // the derivate of (x, y) is itself rotated 90 degrees
        double dx = -y;
        double dy = x;

        tau += length(dx, dy) * step; // add the distance for each step to tau
        // add the distance to the point (make a tiny rotation)
        x += dx * step;
        y += dy * step;
    }
    pi = tau / 2;   // divide tau with 2 to get pi

    /* ignore this line *\                      pi *= 2;    /* secret multiply ^-^ */

    // print the value of pi
    printf("Value of pi is %f", pi); getchar(); 
    return 0;
}

Ini memberikan output sebagai berikut:

Value of pi is 6.283185

C

(Ini akhirnya lebih panjang dari yang dimaksudkan, tapi aku akan mempostingnya ...)

Pada abad ke-17, Wallis menerbitkan seri tak terbatas untuk Pi:

(Lihat Produk Infinite Jenis Wallis dan Catalan Baru untuk π, e, dan √ (2 + √2) untuk informasi lebih lanjut)

Sekarang, untuk menghitung Pi, pertama-tama kita harus mengalikan dua dengan faktor faktor penyebut:

Solusi saya kemudian menghitung deret tak terhingga untuk Pi / 2 dan dua dan kemudian mengalikan kedua nilai tersebut bersama-sama. Perhatikan bahwa produk tak terbatas sangat lambat untuk berkumpul ketika menghitung nilai akhir.

keluaran:

pi: 6.283182

#include "stdio.h"
#include "stdint.h"

#define ITERATIONS 10000000
#define one 1

#define IEEE_MANTISSA_MASK 0xFFFFFFFFFFFFFULL

#define IEEE_EXPONENT_POSITION 52
#define IEEE_EXPONENT_BIAS 1023

// want to get an exact as possible result, so convert
// to integers and do custom 64-bit multiplication.
double multiply(double aa, double bb)
{
    // the input values will be between 1.0 and 2.0
    // so drop these to less than 1.0 so as not to deal 
    // with the double exponents.
    aa /= 2;
    bb /= 2;

    // extract fractional part of double, ignoring exponent and sign
    uint64_t a = *(uint64_t*)&aa & IEEE_MANTISSA_MASK;
    uint64_t b = *(uint64_t*)&bb & IEEE_MANTISSA_MASK;

    uint64_t result = 0x0ULL;

    // multiplying two 64-bit numbers is a little tricky, this is done in two parts,
    // taking the upper 32 bits of each number and multiplying them, then
    // then doing the same for the lower 32 bits.
    uint64_t a_lsb = (a & 0xFFFFFFFFUL);
    uint64_t b_lsb = (b & 0xFFFFFFFFUL);

    uint64_t a_msb = ((a >> 32) & 0xFFFFFFFFUL);
    uint64_t b_msb = ((b >> 32) & 0xFFFFFFFFUL);

    uint64_t lsb_result = 0;
    uint64_t msb_result = 0;

    // very helpful link explaining how to multiply two integers
    // http://stackoverflow.com/questions/4456442/interview-multiplication-of-2-integers-using-bitwise-operators
    while(b_lsb != 0)
    {
        if (b_lsb & 01)
        {
            lsb_result = lsb_result + a_lsb;
        }
        a_lsb <<= 1;
        b_lsb >>= 1;
    }
    while(b_msb != 0)
    {
        if (b_msb & 01)
        {
            msb_result = msb_result + a_msb;
        }
        a_msb <<= 1;
        b_msb >>= 1;
    }

    // find the bit position of the most significant bit in the higher 32-bit product (msb_answer)
    uint64_t x2 = msb_result;
    int bit_pos = 0;
    while (x2 >>= 1)
    {
        bit_pos++;
    }

    // stuff bits from the upper 32-bit product into the result, starting at bit 51 (MSB of mantissa)
    int result_position = IEEE_EXPONENT_POSITION - 1;
    for(;result_position > 0 && bit_pos > 0; result_position--, bit_pos--)
    {
        result |= ((msb_result >> bit_pos) & 0x01) << result_position;
    }

    // find the bit position of the most significant bit in the lower 32-bit product (lsb_answer)
    x2 = lsb_result;
    bit_pos = 0;
    while (x2 >>= 1)
    {
        bit_pos++;
    }

    // stuff bits from the lowre 32-bit product into the result, starting at whatever position
    // left off at from above.
    for(;result_position > 0 && bit_pos > 0; result_position--, bit_pos--)
    {
        result |= ((lsb_result >> bit_pos) & 0x01) << result_position;
    }

    // create hex representation of the answer
    uint64_t r = (uint64_t)(/* exponent */ (uint64_t)IEEE_EXPONENT_BIAS << IEEE_EXPONENT_POSITION) |
            (uint64_t)( /* fraction */ (uint64_t)result & IEEE_MANTISSA_MASK);

    // stuff hex into double
    double d = *(double*)&r;

    // since the two input values were divided by two,
    // need to multiply by four to fix the result.
    d *= 4;

   return d;
}

int main()
{
    double pi_over_two = one;
    double two = one;

    double num = one + one;
    double dem = one;

    int i=0;

    i=ITERATIONS;
    while(i--)
    {
        // pi = 2 2 4 4 6 6 8 8 ...
        // 2    1 3 3 5 5 7 7 9
        pi_over_two *= num / dem;

        dem += one + one;

        pi_over_two *= num / dem;

        num += one + one;
    }

    num = one + one;
    dem = one;

    i=ITERATIONS;
    while(i--)
    {
        // 2 = 2 4 4 6   10 12 12 14
        //     1 3 5 7    9 11 13 15
        two *= num / dem;

        dem += one + one;
        num += one + one;

        two *= num / dem;

        dem += one + one;

        two *= num / dem;

        dem += one + one;
        num += one + one;

        two *= num / dem;

        dem += one + one;
        num += one + one + one + one;
    }

    printf("pi: %f\n", multiply(pi_over_two, two));

    return 0;
}

Eksponen dalam konversi ganda sebenarnya tidak dapat diabaikan. Jika itu satu-satunya perubahan (biarkan membagi dengan 2, yang dikalikan dengan 4, perkalian bilangan bulat) semuanya secara mengejutkan berfungsi.

Seri Java - Nilakantha

Seri Nilakantha diberikan sebagai:

pi = 3 + 4/(2*3*4) - 4/(4*5*6) + 4/(6*7*8) - 4/(8*9*10) ...

Jadi untuk setiap istilah, penyebut dikonstruksikan dengan mengalikan bilangan bulat berurutan, dengan awal naik 2 setiap istilah. Perhatikan bahwa Anda menambahkan / mengurangi istilah bergantian.

public class NilakanthaPi {
    public static void main(String[] args) {
        double pi = 0;
        // five hundred terms
        for(int t=1;t<500;t++){
            // each i is 2*term
            int i=t*2;
            double part = 4.0 / ((i*i*t)+(3*i*t)+(2*t));
            // flip sign for alternating terms
            if(t%2==0)
                pi -= part;
            else
                pi += part;
            // add 3 for first term
            if(t<=2)
                pi += 3;
        }
        System.out.println(pi);
    }
}

Setelah lima ratus istilah, kami mendapatkan estimasi pi yang masuk akal:

6.283185311179568

C ++: Madhava of Sangamagrama

Seri tak terbatas ini sekarang dikenal sebagai Madhava-Leibniz :

Mulailah dengan akar kuadrat dari 48 dan kalikan dengan hasil dari jumlah (-3) ^-k / (2k +1). Sangat mudah dan sederhana untuk diimplementasikan:

long double findPi(int iterations)
{
    long double value = 0.0;

    for (int i = 0; i < iterations; i++) {
        value += powl(-3.0, -i) / (2 * i + 1);
    }

    return sqrtl(48.0) * value;
}

int main(int argc, char* argv[])
{
    std::cout << "my pi: " << std::setprecision(16) << findPi(1000) << std::endl;

    return 0;
}

Keluaran:

my pi: 6.283185307179588

Python - Sebuah Alternatif untuk seri Nilakantha

Ini adalah seri tak hingga untuk menghitung pi yang cukup mudah dimengerti.

Untuk rumus ini, ambil 6 dan mulai berganti-ganti antara menambah dan mengurangi pecahan dengan pembilang 2 dan penyebut yang merupakan produk dari dua bilangan bulat berturut-turut dan jumlah mereka. Setiap fraksi berikutnya mulai set bilangan bulatnya naik sebesar 1. Lakukan ini bahkan beberapa kali dan hasilnya mendekati pi.

pi = 6
sign = 1
for t in range(1,500):
i = t+1
   part = 2.0 / (i*t*(i+t))
   pi = pi + sign * part
   sign = - sign # flip sign for alternating terms  
print(pi)

yang memberi 6,283185.

#include "Math.h"
#include <iostream>
int main(){
    std::cout<<PI;
    return 0;
}

Math.h:

#include <Math.h>
#undef PI
#define PI 6.28

Output: 6.28

#include "Math.h" tidak sama dengan #include, tetapi hanya dengan melihat file utama, hampir tidak ada yang berpikir untuk memeriksanya. Jelas mungkin, tetapi masalah serupa muncul dalam proyek yang sedang saya kerjakan, dan tidak terdeteksi untuk waktu yang lama.