Kuadrat distribusi normal dengan varian spesifik

Apa distribusi kuadrat dari variabel acak terdistribusi normal dengan ? Saya tahu adalah argumen yang valid ketika mengkuadratkan distribusi normal standar , tetapi bagaimana dengan kasus varian non-unit? $X^2$ $X\sim N(0,\sigma^2/4)$
$\chi^2(1)=Z^2$

distributions normal-distribution CodeTrek
sumber

Mengapa tidak menghitung ini langsung dari persamaan Normal, lalu memplot fungsi yang dihasilkan?

Saya mencari penjelasan teoretis di sini ...

CodeTrek

Tulis

Z = \frac{X}{σ / 2}

$Z = \frac{X}{\sigma/2}$ ... atau ekuivalen

X = \frac{σ}{2} \cdot Z

$X=\frac{\sigma}{2}\cdot Z$ . Bisakah kamu melakukannya sekarang?

Glen_b -Reinstate Monica

σ^{2} / 4 * χ^{2} (1)

$\sigma^2/4∗\chi^2(1)$ ? Jadi, tidak ada barang mewah chi square yang tidak terpusat?

CodeTrek

Selama rata-rata adalah

0

$0$ , tidak ada barang chi-square noncentral; hanya vanila yang diskalakan dengan

χ^{2}

$\chi^2$ sebagaimana ditunjukkan Glen_b.

Dilip Sarwate

Jawaban:

Untuk menutup yang ini:

X \sim N (0, σ^{2} / 4) \Rightarrow \frac{X^{2}}{σ^{2} / 4} \sim χ_{1}^{2} \Rightarrow X^{2} = \frac{σ^{2}}{4} χ_{1}^{2} = Q \sim Gamma (1 / 2, σ^{2} / 2)

$X\sim N(0,\sigma^2/4) \Rightarrow \frac {X^2}{\sigma^2/4}\sim \mathcal \chi^2_1 \Rightarrow X^2 = \frac {\sigma^2}{4}\mathcal \chi^2_1 = Q\sim \text{Gamma}(1/2, \sigma^2/2)$

dengan

E (Q) = \frac{σ^{2}}{4}, Var (Q) = \frac{σ^{4}}{8}

$E(Q) = \frac {\sigma^2}{4},\;\; \text{Var}(Q) = \frac {\sigma^4}{8}$

Alecos Papadopoulos
sumber

Ini salah. Jika maka tetapi tidak . Anda membagi dengan faktor yang salah. Lihat di sini: en.wikipedia.org/wiki/…

X \sim N (μ, σ^{2})

$X\sim N(\mu, \sigma^2)$

\frac{X - μ}{σ} \sim χ_{1}^{2}

$\frac{X - \mu}{\sigma}\sim \chi_1^2$

\frac{X - μ}{σ^{2}}

$\frac{X-\mu}{\sigma^2}$

X

$X$

Euler_Salter

@ Euler_Salter Sudahkah Anda melihat bagaimana variabel didefinisikan dalam pertanyaan OP?

X

$X$

Alecos Papadopoulos

Oh, aku merindukan itu! Baca terlalu cepat! Permintaan Maaf

Euler_Salter

@Euler_Salter Juga, variabel terstandarisasi mengikuti distribusi chi , en.wikipedia.org/wiki/Chi_distribution . Anda harus kuadratkan untuk mendapatkan chi-kuadrat.

Alecos Papadopoulos