Berapa distribusi jarak Euclidean antara dua variabel acak yang terdistribusi normal?

Asumsikan Anda diberikan dua objek yang lokasi pastinya tidak diketahui, tetapi didistribusikan sesuai dengan distribusi normal dengan parameter yang diketahui (misalnya $a \sim N(m, s)$ dan $b \sim N(v, t))$ . Kita dapat mengasumsikan ini adalah normal bivariat, sehingga posisinya dijelaskan oleh distribusi di atas $(x,y)$ koordinat (yaitu $m$ dan $v$ adalah vektor yang berisi koordinat yang diharapkan $(x,y)$ untuk $a$dan masing-masing). Kami juga akan menganggap objek independen.$b$

Apakah ada yang tahu jika distribusi jarak Euclidean kuadrat antara dua objek ini adalah distribusi parametrik yang dikenal? Atau bagaimana cara menurunkan PDF / CDF untuk fungsi ini secara analitik?

Jawaban untuk pertanyaan ini dapat ditemukan dalam buku Bentuk kuadrat dalam variabel acak oleh Mathai dan Provost (1992, Marcel Dekker, Inc.).

Seperti yang dikomentari oleh komentar, Anda perlu menemukan distribusi mana z = a - b mengikuti distribusi normal bivariat dengan mean μ dan matriks kovarian ari . Ini adalah bentuk kuadrat dalam variabel acak bivariat z .$Q = z_1^2 + z_2^2$$z = a - b$$\mu$$\Sigma$$z$

Secara singkat, satu hasil umum yang bagus untuk kasus berdimensi mana z ~ N p ( μ , Σ ) dan Q = p Σ j = 1 z 2 j adalah bahwa fungsi pembangkit momen E ( e t Q ) = e t Σ p j = 1 b 2 j λ $p$$z \sim N_p(\mu, \Sigma)$

$$Q = \sum_{j=1}^p z_j^2$$ di manaλ1,...,λpadalah nilai eigen dariΣdanbmerupakan fungsi linear dariμ. Lihat Teorema 3.2a.2 (halaman 42) dalam buku yang dikutip di atas (kita asumsikan di sini bahwaΣadalah non-tunggal). Representasi lain yang berguna adalah 3.1a.1 (halaman 29) Q=pΣj= $$E(e^{tQ}) = e^{t \sum_{j=1}^p \frac{b_j^2 \lambda_j}{1-2t\lambda_j}}\prod_{j=1}^p (1-2t\lambda_j)^{-1/2}$$ $\lambda_1, \ldots, \lambda_p$$\Sigma$$b$$\mu$$\Sigma$ mana u 1 , … , u p iid N ( 0 , 1 ) . $$Q = \sum_{j=1}^p \lambda_j(u_j + b_j)^2$$ $u_1, \ldots, u_p$$N(0, 1)$

Seluruh Bab 4 dalam buku ini ditujukan untuk representasi dan perhitungan kepadatan dan fungsi distribusi, yang sama sekali tidak sepele. Saya hanya akrab dengan buku ini, tetapi kesan saya adalah bahwa semua representasi umum adalah dalam hal ekspansi seri tak terbatas.

$\lambda_1, \lambda_2 > 0$$b_1, b_2 \in \mathbb{R}$

$a$$b$$a-b$

$\mu_d = \mu_1 - \mu_2$$\Sigma_d = \Sigma_1 + \Sigma_2$ $\Sigma_d = \mathrm{J} \Sigma_{12} \mathrm{J}^T$$\Sigma_{12} = \begin{bmatrix} \Sigma_1 & \\ & \Sigma_2 \end{bmatrix}$$\mathrm{J} = \begin{bmatrix} +\mathrm{I}, & -\mathrm{I} \end{bmatrix}$

Kedua, cari distribusi panjang vektor perbedaan, atau jarak radial dari titik asal, yang didistribusikan Hoyt :

Jari-jari di sekitar rata-rata sebenarnya dalam variabel acak normal berkorelasi bivariat dengan varians yang tidak sama, ditulis ulang dalam koordinat polar (radius dan sudut), mengikuti distribusi Hoyt. Pdf dan cdf didefinisikan dalam bentuk tertutup, pencarian akar numerik digunakan untuk menemukan cdf ^ −1. Mengurangi distribusi Rayleigh jika korelasinya 0 dan variansinya sama.

Distribusi yang lebih umum muncul jika Anda mengizinkan perbedaan yang bias (asal bergeser), dari Ballistipedia :

Mengapa tidak mengujinya?

set.seed(347)
x <- rnorm(10000)
y <- rnorm(10000)
x2 <- rnorm(10000)
y2 <- rnorm(10000)

qdf <- data.frame(x,y,x2,y2)
qdf <- data.frame(qdf,(x-x2)^2+(y-y2)^2)
colnames(qdf)[5] <- "euclid" 

plot(c(x,y),c(x2,y2))
plot(qdf$euclid)
hist(qdf$euclid) 
plot(dentist(qdf$euclid))