Estimasi Parameter LogLikelihood untuk Filter Linear Gaussian Kalman

Saya telah menulis beberapa kode yang dapat melakukan pemfilteran Kalman (menggunakan sejumlah filter tipe Kalman yang berbeda [Information Filter et al.]) Untuk Linear Gaussian State Space Analysis untuk vektor keadaan n-dimensi. Filter bekerja dengan baik dan saya mendapatkan beberapa output yang bagus. Namun, estimasi parameter melalui estimasi loglikelihood membingungkan saya. Saya bukan ahli statistik, tetapi seorang ahli fisika, jadi mohon berbaik hati.

Mari kita perhatikan model Ruang Gaussian Negara linear

di mana adalah vektor pengamatan kita, vektor keadaan kita pada langkah waktu t . Kuantitas dalam huruf tebal adalah matriks transformasi dari model ruang keadaan yang ditetapkan sesuai dengan karakteristik sistem yang dipertimbangkan. Kami juga punya$y_{t}$$\alpha_{t}$$t$

η t ∼ N I D ( 0 , Q t ) , α 1 ∼ N I D ( a 1 , P 1 )

di mana $t = 1,\ldots, n$ . Sekarang, saya telah membuat dan menerapkan rekursi untuk Filter Kalman untuk model ruang keadaan umum ini dengan menebak parameter awal dan matriks varians $\mathbf{H}_{1}$ dan $\mathbf{Q}_{1}$ Saya dapat menghasilkan plot Suka

di mana titik-titik itu adalah permukaan air Sungai Nil untuk Jan selama lebih dari 100 tahun, garisnya adalah kondisi Estimasi Kalamn, dan garis putus-putus adalah tingkat kepercayaan 90%.

Sekarang, untuk data 1D ini, atur matriks dan -masing hanya skalar dan masing-masing. Jadi sekarang saya ingin mendapatkan parameter yang benar untuk skalar ini menggunakan output dari Kalman Filter dan fungsi loglikelihoodQ t σ ϵ σ $\mathbf{H}_{t}$$\mathbf{Q}_{t}$$\sigma_{\epsilon}$$\sigma_{\eta}$

Di mana adalah kesalahan status dan adalah varian kesalahan negara. Sekarang, di sinilah saya bingung. Dari filter Kalman, saya memiliki semua informasi yang saya perlukan untuk menyelesaikan , tetapi ini tampaknya membuat saya tidak bisa lebih dekat untuk dapat menghitung kemungkinan maksimum dan . Pertanyaan saya adalah bagaimana saya bisa menghitung kemungkinan maksimum dan menggunakan pendekatan loglikelihood dan persamaan di atas? Kerusakan algoritmik akan seperti bir dingin bagiku sekarang ...F t L σ ϵ σ η σ ϵ σ η,$v_{t}$$\mathbf{F}_{t}$$L$$\sigma_{\epsilon}$$\sigma_{\eta}$$\sigma_{\epsilon}$$\sigma_{\eta}$

Terima kasih atas waktunya.

Catatan. Untuk kasus 1D dan . Ini adalah model tingkat lokal univariat. H t = σ 2 $\mathbf{H}_{t} = \sigma^{2}_{\epsilon}$$\mathbf{H}_{t} = \sigma^{2}_{\eta}$

Saat Anda menjalankan filter Kalman seperti yang Anda miliki, dengan nilai dan , Anda mendapatkan urutan inovasi dan kovariannya , maka Anda dapat menghitung nilai menggunakan rumus yang Anda berikan.$\sigma_\epsilon^2$$\sigma^2_\eta$$\nu_t$$\boldsymbol{F_t}$$\log L(Y_n)$

Dengan kata lain, Anda dapat menganggap filter Kalman sebagai cara untuk menghitung fungsi implisit dari dan . Satu-satunya hal yang perlu Anda lakukan adalah mengemas perhitungan ini ke dalam suatu fungsi atau subrutin dan menangani fungsi itu ke rutin optimasi - seperti di R. Fungsi itu harus diterima sebagai input dan dan kembali .$\sigma_\epsilon^2$$\sigma^2_\eta$optim$\sigma_\epsilon^2$$\sigma^2_\eta$$\log L(Y_n)$

Beberapa paket di R (mis dlm) melakukan ini untuk Anda (lihat misalnya fungsi dlmMLE).