Apakah ada konjugat sebelum distribusi Laplace?

Apakah ada konjugat sebelum distribusi Laplace ? Jika tidak, adakah ungkapan bentuk tertutup yang diketahui yang mendekati posterior untuk parameter distribusi Laplace?

Saya sudah googled cukup banyak dengan tidak berhasil sehingga dugaan saya saat ini adalah "tidak" pada pertanyaan di atas ...

Mari kita lihat mereka satu per satu terlebih dahulu (mengambil yang lain seperti yang diberikan).

Dari tautan (dengan modifikasi mengikuti konvensi menggunakan simbol Yunani untuk parameter):

$f(x|\mu,\tau) = \frac{1}{2\tau} \exp \left( -\frac{|x-\mu|}{\tau} \right) \,$

- parameter skala :

$\cal{L}(\tau) \propto \tau^{-k-1} e^{-\frac{S}{\tau}} \,$

untuk nilai-nilai tertentu dan S . Itulah kemungkinan bentuk gamma terbalik.$k$$S$

Jadi parameter skala memiliki prior konjugat - dengan inspeksi, konjugat prior adalah gamma terbalik.

- parameter lokasi

Ini, memang, lebih rumit, karena tidak menyederhanakan menjadi sesuatu yang nyaman dalam μ ; Saya tidak berpikir ada cara untuk 'mengumpulkan persyaratan' (well dengan cara semacam itu ada, tapi kita tidak perlu toh).$\sum_i|x_i-\mu|$$\mu$

Prior yang seragam hanya akan memotong posterior, yang tidak terlalu buruk untuk digunakan jika itu tampak masuk akal sebagai prior.

Satu kemungkinan menarik yang kadang-kadang berguna adalah agak mudah untuk memasukkan Laplace prior (satu dengan skala yang sama dengan data) dengan menggunakan pengamatan semu. Seseorang mungkin juga memperkirakan beberapa lainnya (lebih ketat) sebelum melalui beberapa pengamatan semu)

$\exp(-\sum_j |\mu-\theta_j|/\phi_j)$$\exp(-\sum_j w^*_j|\mu-\theta_j|)$

Ini juga cukup fleksibel sehingga dapat digunakan untuk memperkirakan prior lainnya.

(Lebih umum lagi, seseorang dapat bekerja pada skala log dan menggunakan log-cekung kontinu, sepotong-linear sebelum dan posterior juga akan berbentuk itu; ini akan termasuk Laplace asimetris sebagai kasus khusus)

Contoh

Hanya untuk menunjukkan bahwa itu cukup mudah untuk ditangani - di bawah ini adalah sebelum (abu-abu bertitik), kemungkinan (putus-putus, hitam) dan posterior (padat, merah) untuk parameter lokasi untuk Laplace tertimbang (... ini dengan skala yang diketahui ).

Pendekatan Laplace tertimbang akan bekerja dengan baik di MCMC, saya pikir.

-

Saya ingin tahu apakah mode posterior yang dihasilkan adalah median tertimbang?

- sebenarnya (untuk menjawab pertanyaan saya sendiri), sepertinya jawaban untuk itu adalah 'ya'. Itu membuatnya agak menyenangkan untuk dikerjakan.

-

Bersama sebelumnya

$f(\mu,\tau)=f(\mu|\tau)f(\tau)$$\mu|\tau$$\tau$$\tau$$\tau$

Tidak diragukan lagi sesuatu yang lebih umum untuk persekutuan sebelumnya sangat mungkin, tetapi saya tidak berpikir saya akan mengejar kasus persendian lebih jauh dari itu di sini.

-

Saya belum pernah melihat atau mendengar tentang pendekatan sebelumnya yang berbobot-laplace ini, tetapi agak mudah untuk membuatnya sehingga mungkin sudah dilakukan. (Referensi dipersilahkan, jika ada yang tahu.)

Jika tidak ada yang tahu referensi sama sekali, mungkin saya harus menulis sesuatu, tetapi itu akan mengejutkan.