Karena distribusi beta mirip dengan binomial, mengapa kita memerlukan distribusi beta?

Tampaknya distribusi binomial sangat mirip dalam bentuk dengan distribusi beta dan bahwa saya dapat men-parametrize kembali konstanta pada pdf agar terlihat sama. Jadi, mengapa kita perlu distribusi beta? Apakah itu untuk tujuan tertentu? Terima kasih!

Mereka terkait, tetapi tidak dalam bentuk yang sangat mirip.

Dalam beta, variabel (dan komplemennya) dinaikkan ke beberapa kekuatan, tetapi dalam binomial variabel adalah kekuatan (dan juga muncul dalam koefisien binomial).

Sementara bentuk-bentuk fungsional memang mirip (ada istilah-istilah dalam satu yang sesuai dengan istilah-istilah di yang lain), variabel-variabel yang mewakili parameter dan variabel acak di masing-masing berbeda. Itu agak penting; itu sebabnya mereka sebenarnya bukan hal yang sama sekali.

Distribusi binomial biasanya digunakan untuk penghitungan , atau dalam bentuk skala, untuk proporsi berdasarkan penghitungan (meskipun Anda dapat menggunakannya untuk variabel acak diskrit terikat lainnya berdasarkan basis pragmatis murni). Ini diskrit.

Distribusi beta kontinu, dan biasanya tidak digunakan untuk perhitungan.

Sebagai contoh, bandingkan dua fungsi ini:

$y = b^x,\, x=0,1,2,3,...$ dan .$y = x^a,\, 0<x<1$

Kedua fungsi ini didefinisikan oleh ekspresi dari bentuk yang sama (sesuatu dari bentuk ), tetapi peran variabel dan konstan dipertukarkan dan domainnya berbeda. Hubungan antara beta dan binomial seperti hubungan antara dua fungsi tersebut.$c^d$

- Singkatnya: bentuk berbeda, dan domain berbeda

Berikut adalah contoh sederhana dari distribusi beta, . Distribusi binomial mana yang melakukan pekerjaan yang sama?$\text{beta}(1,1)$

Atau pertimbangkan ; sulit untuk menemukan binomial yang terlihat mirip. Inilah satu upaya:$\text{beta}(2,1)$

Seluruh beta pdf berada di antara dua lonjakan hijau pertama dalam binomial pf, meskipun mereka tidak dapat benar-benar ditampilkan pada plot yang sama karena sumbu y mengukur hal-hal yang berbeda.

Sementara bentuknya agak mirip dalam arti bahwa mereka berdua condong ke kiri, mereka benar-benar sangat berbeda, dan digunakan untuk hal-hal yang berbeda.

-

Inilah tantangannya:

Untuk dan , cari distribusi binomial (mungkin diskalakan) yang secara simultan dapat secara wajar cukup akurat (misalnya ke dalam dikalikan probabilitas yang benar, memberi atau menerima) yang memiliki mean dan varians yang sama atau rentang dan rata-rata (Anda pilih), tetapi juga kira-kira mereproduksi kemungkinan berada dalam tiga sub-intervensi ini: (a) , (b) , dan (c)X 2 ∼ beta (3,2) c = ( 0,95 , 1,05 ) ( 1 / π , 1 / e $X_1\sim\text{beta}(1,1)$$X_2\sim\text{beta(3,2)}$$c=(0.95, 1.05)$$(1/\pi,1/e)$(exp(-3)$(\exp(-\frac{1}{2}),2/\pi)$$(\exp(-3),1/\pi^2)$

Beta digunakan untuk melakukan banyak hal, termasuk model proporsi kontinu, bertindak sebagai sebelumnya pada parameter dari binomial, itu adalah distribusi statistik urutan seragam (dan dapat digunakan dalam derivasi distribusi statistik pesanan untuk lainnya distribusi kontinu, digunakan sebagai distribusi pencampuran untuk binomial (menghasilkan distribusi beta-binomial), untuk memodelkan waktu penyelesaian tugas dalam manajemen proyek , dan banyak hal lainnya.$p$$p$