Saya sering membaca bahwa koreksi Bonferroni juga berfungsi untuk hipotesis dependen. Namun, saya tidak berpikir itu benar dan saya punya contoh balasan. Dapatkah seseorang tolong beri tahu saya (a) di mana kesalahan saya atau (b) apakah saya benar dalam hal ini.
Menyiapkan contoh penghitung
Asumsikan kita sedang menguji dua hipotesis. Misalkan adalah hipotesis pertama salah dan sebaliknya. Tetapkan cara yang sama. Biarkan menjadi nilai-p yang terkait dengan dua hipotesis dan biarkan Menunjukkan fungsi indikator untuk set yang ditentukan di dalam kurung.H1=0H1=1H2p1,p2[[⋅]]
Untuk fix define
yang jelas merupakan kepadatan probabilitas lebih dari . Ini adalah plot dari dua kepadatanθ∈[0,1]
P(p1,p2|H1=0,H2=0)P(p1,p2|H1=0,H2=1)===12θ[[0≤p1≤θ]]+12θ[[0≤p2≤θ]]P(p1,p2|H1=1,H2=0)1(1−θ)2[[θ≤p1≤1]]⋅[[θ≤p2≤1]]
[0,1]2
Hasil marginalisasi
dan demikian pula untuk .
P(p1|H1=0,H2=0)P(p1|H1=0,H2=1)==12θ[[0≤p1≤θ]]+121(1−θ)[[θ≤p1≤1]]
p2
Selanjutnya, mari
Ini menyiratkan bahwa
P(H2=0|H1=0)P(H2=1|H1=0)==P(H1=0|H2=0)=2θ1+θP(H1=1|H2=0)=1−θ1+θ.
P(p1|H1=0)====∑h2∈{0,1}P(p1|H1=0,h2)P(h2|H1=0)12θ[[0≤p1≤θ]]2θ1+θ+122θ1+θ+1(1−θ)[[θ≤p1≤1]]1−θ1+θ11+θ[[0≤p1≤θ]]+θ1+θ+11+θ[[θ≤p1≤1]]U[0,1]
seragam seperti yang diperlukan untuk nilai-p di bawah hipotesis Null. Hal yang sama berlaku untuk karena simetri.
p2
Untuk mendapatkan distribusi gabungan kami menghitungP(H1,H2)
P(H2=0|H1=0)P(H1=0)⇔2θ1+θP(H1=0)⇔P(H1=0)===P(H1=0|H2=0)P(H2=0)2θ1+θP(H2=0)P(H2=0):=q
Oleh karena itu, distribusi gabungan diberikan oleh
yang berarti .
P(H1,H2)=H1=0H1=1H2=02θ1+θq1−θ1+θqH2=11−θ1+θq1+θ−2q1+θ
0≤q≤1+θ2
Mengapa itu adalah contoh balasan
Sekarang mari untuk tingkat signifikansi
menarik. Probabilitas untuk mendapatkan setidaknya satu false positive dengan tingkat signifikansi yang dikoreksi mengingat bahwa kedua hipotesis itu salah (yaitu ) diberikan oleh
karena semua nilai dan lebih rendah dari
mengingat bahwa danθ=α2αα2Hi=0
P((p1≤α2)∨(p2≤α2)|H1=0,H2=0)=1
p1p2α2H1=0H2=0oleh konstruksi. Koreksi Bonferroni, bagaimanapun, akan mengklaim bahwa FWER kurang dari .
α
Jawaban:
Bonferroni tidak bisa liberal, terlepas dari ketergantungan, jika nilai-p Anda dihitung dengan benar.
Biarkan A menjadi peristiwa kesalahan Tipe I dalam satu tes dan biarkan B menjadi acara kesalahan Tipe I dalam tes lain. Probabilitas bahwa A atau B (atau keduanya) akan terjadi adalah:
P (A atau B) = P (A) + P (B) - P (A dan B)
Karena P (A dan B) adalah probabilitas dan dengan demikian tidak boleh negatif, tidak ada cara yang mungkin untuk persamaan itu untuk menghasilkan nilai yang lebih tinggi dari P (A) + P (B). Nilai tertinggi yang dapat dihasilkan oleh persamaan adalah ketika P (A dan B) = 0, yaitu ketika A dan B sangat tergantung negatif. Dalam hal ini, Anda dapat mengisi persamaan sebagai berikut, dengan asumsi nulls benar dan tingkat alfa Bonferroni yang disesuaikan dari 0,025:
P (A atau B) = P (A) + P (B) - P (A dan B) = .025 + .025 - 0 = .05
Di bawah struktur ketergantungan lainnya, P (A dan B)> 0, sehingga persamaan menghasilkan nilai yang bahkan lebih kecil dari 0,05. Misalnya, di bawah ketergantungan positif sempurna, P (A dan B) = P (A), dalam hal ini Anda dapat mengisi persamaan sebagai berikut:
P (A atau B) = P (A) + P (B) - P (A dan B) = .025 + .025 - .025 = .025
Contoh lain: di bawah independensi, P (A dan B) = P (A) P (B). Karenanya:
P (A atau B) = P (A) + P (B) - P (A dan B) = .025 + .025 - .025 * .025 = .0494
Seperti yang Anda lihat, jika satu peristiwa memiliki probabilitas 0,025 dan acara lain juga memiliki probabilitas 0,025, tidak mungkin untuk probabilitas "satu atau keduanya" peristiwa lebih besar dari 0,05, karena tidak mungkin untuk P ( A atau B) lebih besar dari P (A) + P (B). Setiap klaim yang bertentangan secara logis tidak masuk akal.
"Tapi itu dengan asumsi kedua nol itu benar," Anda mungkin berkata. "Bagaimana jika nol pertama benar dan yang kedua salah?" Dalam hal itu, B tidak mungkin karena Anda tidak dapat memiliki kesalahan Tipe I di mana hipotesis nol salah. Jadi, P (B) = 0 dan P (A dan B) = 0. Jadi mari kita isi rumus umum untuk FWER dari dua tes:
P (A atau B) = P (A) + P (B) - P (A dan B) = .025 + 0 - 0 = .025
Jadi sekali lagi FWER adalah <0,05. Perhatikan bahwa ketergantungan tidak relevan di sini karena P (A dan B) selalu 0. Skenario lain yang mungkin adalah bahwa kedua nol adalah salah, tetapi harus jelas bahwa FWER akan menjadi 0, dan dengan demikian <0,05.
sumber
Saya pikir saya akhirnya punya jawabannya. Saya memerlukan persyaratan tambahan pada distribusi . Sebelumnya, saya hanya mensyaratkan bahwa seragam antara 0 dan 1. Dalam hal ini contoh saya benar dan Bonferroni akan terlalu liberal. Namun, jika saya juga memerlukan keseragaman maka mudah diperoleh bahwa Bonferroni tidak pernah bisa terlalu konservatif. Teladan saya melanggar asumsi ini. Dalam istilah yang lebih umum, asumsinya adalah bahwa distribusi semua nilai-p yang diberikan bahwa semua hipotesis nol benar harus memiliki bentuk kopula : Bersama-sama mereka tidak perlu seragam, tetapi sedikit mereka melakukannya.P(p1,p2|H1=0,H2=0) P(p1|H1=0) P(p1|H1=0,H2=0)
Komentar: Jika ada yang bisa mengarahkan saya ke sumber di mana asumsi ini dinyatakan dengan jelas (buku teks, kertas), saya akan menerima jawaban ini.
sumber