Pertanyaan tentang bobot invers-varians

Misalkan kita ingin membuat kesimpulan pada realisasi yang tidak teramati dari variabel acak , yang biasanya didistribusikan dengan mean dan varians . Misalkan ada variabel acak lain (yang realisasinya tidak teramati akan kita sebut juga ) yang biasanya didistribusikan dengan mean dan varians . Biarkan menjadi kovarians dari dan . $x$ $\tilde x$ $\mu_x$ $\sigma^2_x$ $\tilde y$ $y$ $\mu_y$ $\sigma^2_y$ $\sigma_{xy}$ $\tilde x$ $\tilde y$

Sekarang anggaplah kita mengamati sinyal pada , mana , dan sinyal menyala , mana . Asumsikan dan independen. $x$

\begin{aligned} Sebuah = x + \tilde{kamu}, \end{aligned}

$\begin{align}a=x+\tilde u,\end{align}$

\tilde{u} \sim N (0, ϕ_{x}^{2})

$\tilde u\sim\mathcal{N}(0,\phi_x^2)$

y

$y$

\begin{aligned} b = y + \tilde{v}, \end{aligned}

$\begin{align}b=y+\tilde v,\end{align}$

\tilde{v} \sim N (0, ϕ_{y}^{2})

$\tilde v\sim\mathcal{N}(0,\phi_y^2)$

\tilde{u}

$\tilde u$

\tilde{v}

$\tilde v$

Apa distribusi bersyarat pada dan ? $x$ $a$ $b$

Apa yang saya ketahui sejauh ini: Menggunakan pembobotan invers-varians, dan

\begin{aligned} E (x | Sebuah) = \frac{\frac{1}{σ_{x}^{2}} μ_{x} + \frac{1}{ϕ_{x}^{2}} Sebuah}{\frac{1}{σ_{x}^{2}} + \frac{1}{ϕ_{x}^{2}}}, \end{aligned}

$\begin{align}\mathbb{E}(x\,|\,a)=\frac{\frac{1}{\sigma_x^2}\mu_x+\frac{1}{\phi_x^2}a}{\frac{1}{\sigma_x^2}+\frac{1}{\phi_x^2}},\end{align}$

\begin{aligned} V ar (x | Sebuah) = \frac{1}{\frac{1}{σ_{x}^{2}} + \frac{1}{ϕ_{x}^{2}}} . \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb{V}\text{ar}(x\,|\,a)=\frac{1}{\frac{1}{\sigma_x^2}+\frac{1}{\phi_x^2}}. \end{align}$

Karena dan digambar bersama, harus membawa beberapa informasi tentang . Selain menyadari ini, saya terjebak. Bantuan apa pun dihargai! $x$ $y$ $b$ $x$

meta-analysis bad_at_math
sumber

Ini terlihat persis seperti beberapa langkah pertama pada penurunan filter Kalman. Anda mungkin melihat derivasi dan berpikir tentang keuntungan Kalman untuk pembaruan estimasi kovarian negara. cs.unc.edu/~welch/media/pdf/kalman_intro.pdf

EngrStudent

Terima kasih balasannya! Saya membaca dokumen di tautan Anda, tetapi saya tidak melihat hubungannya dengan pemfilteran Kalman. Apakah ada peluang yang bisa Anda uraikan? Saya menghargai bantuannya!

bad_at_math

@ EngrStudent Jika OP tidak terbiasa dengan filter Kalman, saya tidak melihat bagaimana itu akan banyak membantu. Mungkin Anda bisa menjelaskan bagaimana cara mendekati masalah tanpa menggunakan salah satu spesifik (atau jargon) yang terlibat dengan KF, meskipun mungkin memanfaatkan pemahaman Anda tentang hal itu untuk memandu respons pada spesifik di sini.

Glen_b -Reinstate Monica

Diposting silang di math.SE sini

Glen_b -Reinstate Monica

Jawaban:

Saya tidak yakin apakah rumus bobot varians terbalik berlaku di sini. Namun saya pikir Anda dapat menghitung distribusi bersyarat dari diberikan dan dengan mengasumsikan bahwa , , dan mengikuti distribusi normal multivariat bersama. $x$ $a$ $b$ $x$ $y$ $a$ $b$

Khususnya, jika Anda menganggap (sesuai dengan apa yang ditentukan dalam pertanyaan) bahwa lalu, biarkan

[\begin{matrix} x \\ y \\ kamu \\ v \end{matrix}] \sim N ([\begin{matrix} μ_{x} \\ μ_{y} \\ 0 \\ 0 \end{matrix}], [\begin{matrix} σ_{x}^{2} & σ_{x y} & 0 & 0 \\ σ_{x y} & σ_{y}^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & ϕ_{x}^{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & ϕ_{y}^{2} \end{matrix}])

$\begin{equation} \left[\begin{matrix}x \\ y \\ u \\ v \end{matrix}\right] \sim N\left( \left[\begin{matrix}\mu_x \\ \mu_y \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right], \left[\begin{matrix} \sigma^2_x & \sigma_{xy} & 0 & 0 \\ \sigma_{xy} & \sigma^2_y & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \phi^2_x & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \phi^2_y \end{matrix}\right] \right) \end{equation}$

dan

, Anda dapat menemukan bahwa

a = x + u

$a=x+u$

b = y + v

$b=y+v$

(Perhatikan bahwa di atas secara implisit diasumsikan bahwa

dan

saling independen satu sama lain dan juga dengan

dan

[\begin{matrix} x \\ Sebuah \\ b \end{matrix}] \sim N ([\begin{matrix} μ_{x} \\ μ_{x} \\ μ_{y} \end{matrix}], [\begin{matrix} σ_{x}^{2} & σ_{x}^{2} & σ_{x y} \\ σ_{x}^{2} & σ_{x}^{2} + ϕ_{x}^{2} & σ_{x y} \\ σ_{x y} & σ_{x y} & σ_{y}^{2} + ϕ_{y}^{2} \end{matrix}]) .

$\begin{equation} \left[\begin{matrix}x \\ a \\ b \end{matrix}\right] \sim N\left( \left[\begin{matrix}\mu_x \\ \mu_x \\ \mu_y \end{matrix}\right], \left[\begin{matrix} \sigma^2_x & \sigma^2_x & \sigma_{xy} \\ \sigma^2_x & \sigma^2_x + \phi^2_x & \sigma_{xy} \\ \sigma_{xy} & \sigma_{xy} & \sigma^2_y + \phi^2_y \end{matrix}\right] \right). \end{equation}$

u

$u$

v

$v$

x

$x$

y

$y$

Dari sini Anda dapat menemukan distribusi bersyarat dari diberikan dan menggunakan properti standar dari distribusi normal multivariat (lihat di sini misalnya: http://en.wikipedia.org/wiki/Multivariate_normal_distribution#Conditional_distributions ). $x$ $a$ $b$

a. syal
sumber