Bagaimana saya bisa membuktikan bahwa produk dua fungsi kernel adalah fungsi kernel?
sumber
Bagaimana saya bisa membuktikan bahwa produk dua fungsi kernel adalah fungsi kernel?
Menurut produk point-wise, saya berasumsi maksud Anda bahwa jika keduanya merupakan fungsi kernel yang valid, maka produk mereka
juga merupakan fungsi kernel yang valid.
Membuktikan properti ini agak mudah ketika kita menggunakan teorema Mercer. Karena adalah kernel yang valid, kami tahu (melalui Mercer) bahwa mereka harus mengakui representasi produk dalam. Biarkan menunjukkan vektor fitur dan menyatakan sama untuk . a k 1 b k 2
Jadi adalah fungsi yang menghasilkan vektor -dim, dan menghasilkan vektor -dim.b N
Selanjutnya, kita cukup menulis produk dalam bentuk dan , dan melakukan beberapa pengelompokan ulang.b
di mana adalah vektor dimensi, st .M ⋅ N c m n ( z ) = a m ( z ) b n ( z )
Sekarang, karena kita dapat menulis sebagai produk dalam menggunakan peta fitur , kita tahu adalah kernel yang valid (melalui teorema Mercer). Hanya itu yang ada untuk itu.c k p
Bagaimana dengan bukti berikut:
Sumber: ceramah metode kernel UChicago , halaman 5
sumber
Asumsikan dan adalah matriks kernel dari dua kernel ini dan , masing-masing, dan mereka adalah PSD. Kami mendefinisikan dan ingin membuktikannya juga merupakan kernel. Ini setara untuk membuktikan matriks kernelnya yang sesuai adalah PSD.K1 K2 k1( x , y) k2( x , y) k ( x , y) = k1( x , y) k2( x , y) K= K1 ∘ K2
sumber