Dapatkah distribusi probabilitas memiliki standar deviasi tak terbatas?

aku percaya $p[x]$ adalah distribusi probabilitas, di mana

karena positif di mana-mana dan terintegrasi ke 1 $-\infty, \infty$.

Mean adalah 0 oleh simetri, meskipun berintegrasi $xp[x]$ di $-\infty, \infty$tidak bertemu. Ini "mencurigakan" sejak itu $p[x]$ seharusnya menjadi distribusi probabilitas, tetapi masuk akal karena $xp[x]$ adalah $O(1/x)$ yang dikenal menyimpang.

Masalah yang lebih besar adalah dalam menghitung standar deviasi. Sejak$x^2 p[x]$ juga menyimpang, sejak $x^2 p[x]$ adalah $O(1)$.

Jika ini bukan distribusi probabilitas, mengapa tidak? Jika ya, apakah deviasi standarnya tidak terbatas?

Fungsi distribusi kumulatif adalah $\arctan[x]/\pi$ jika itu membantu.

Seseorang menyebutkan ini mungkin distribusi gamma, tetapi itu tidak jelas bagi saya.

Untuk menjawab judul pertanyaan Anda: Ya, distribusi probabilitas dapat memiliki standar deviasi tak terbatas (lihat di bawah).

Contoh Anda adalah kasus khusus dari distribusi Cauchy yang mean atau variansnya tidak ada. Atur parameter lokasi ke 0 dan skala ke 1 untuk Cauchy untuk sampai ke pdf Anda.

Distribusi Cauchy tidak memiliki mean atau varian, di mana integral tidak bertemu dengan apa pun di $[-\infty,\infty]$. Namun, distribusi suka$f(x)=\frac{2}{x^3}$ di $[1,\infty)$ memiliki mean, tetapi standar deviasi tidak terbatas.