Distribusi normal standar pada subruang

Membiarkan $U \subset \mathbb{R}^n$ menjadi ruang vektor dengan $\dim(U)=d$ . Distribusi normal standar aktif $U$ adalah hukum vektor acak $X=(X_1, \ldots, X_n)$ mengambil nilai dalam $U$ dan sedemikian rupa sehingga koordinat $X$ jadi satu ( $\iff$ dalam) dasar ortonormal dari $U$ adalah vektor acak yang terbuat dari $d$ distribusi normal standar independen ${\cal N}(0, 1)$ .

Saat membaca pertanyaan ini, saya bertanya pada diri sendiri pertanyaan berikut. Membiarkan $Y=(Y_1, \ldots, Y_n)$ menjadi standar distribusi normal pada $\mathbb{R}^n$ . Apakah benar bahwa distribusi bersyarat $Y$ diberikan $Y \in U$ adalah distribusi normal standar pada $U$ ?

Norma kuadrat ${\Vert X \Vert}^2$ dari memiliki distribusi chi-square . Jadi, jika ini benar, itu akan menjelaskan klaim @ Argha. $X$ $\chi^2_d$

Maaf jika LaTeX salah ketik, saya tidak melihat rendering LaTeX :(

EDIT 01/10/2012: Oke saya mengerti. Tuliskan dekomposisi ortogonal dari dalam . Kemudian . Itu menunjukkan bahwa . Ini sedikit heuristik tetapi benar secara moral. Akhirnya jelas dari definisi yang adalah standar normal pada . $y=u+v$ $y$ $U\oplus U^\perp$

Pr (Y \in d y \cap Y \in U) = Pr (P_{U} Y \in d u)

$\Pr(Y\in \mathrm{d}y \cap Y \in U)=\Pr(P_U Y \in \mathrm{d}u)$

(Y ∣ Y \in U) \sim P_{U} Y

$(Y \mid Y \in U) \sim P_U Y$

P_{U} Y

$P_U Y$

U

$U$

normal-distribution conditioning Stéphane Laurent
sumber

Bukankah ini sangat jelas ketika Anda mencatat bahwa basis ortonormal untuk selalu dapat dibangun dengan memperluas basis ortonormal untuk ? (Satu bukti: gunakan Gram-Schmidt pada ekstensi apa pun, baik ortonormal atau tidak). Dalam basis ini PDF dapat dipisahkan dan fortiori adalah standar normal pada , QED.

R^{n}

$\mathbb{R}^n$

U

$U$

U

$U$

Whuber

@whuber Tolong bisakah Anda menguraikan jawaban? Bagaimana Anda memperoleh distribusi bersyarat?

Stéphane Laurent

Anda hanya melihatnya ! Ketika PDF benar-benar kontinu faktor , maka (a) dan adalah independen dan (b) dan adalah distribusi kondisional .

f (x, y)

$f(x,y)$

f_{x} (x) f_{y} (y)

$f_x(x)f_y(y)$

X

$X$

Y

$Y$

f_{x}

$f_x$

f_{y}

$f_y$

Whuber

@whuber aku baru saja pulang kerja. Saya akan memikirkannya nanti. Terima kasih. Tentu saja saya percaya ini jelas tapi saya lelah.

Stéphane Laurent

Jawaban:

Iya. Anda memiliki bahwa adalah subruang dari . Misalkan dan menjadi matriks proyeksi ortogonal pada , sehingga simetris dan idempoten. Kemudian . Ini adalah distribusi normal tunggal, yang pada subruang adalah standar normal pada subruang itu. Sebagai distribusi tunggal, tidak memiliki kepadatan sehubungan dengan ukuran volume , tetapi memiliki kepadatan sehubungan dengan (rendah-dim) Volume ukuran pada . $U$ $\mathbb R^n$ $Y \sim \text{N}(0,I)$ $P$ $U$ $P$ $PY \sim \text{N}(P0,PIP^T) = \text{N}(0,P)$ $U$ $\mathbb R^n$ $U$

kjetil b halvorsen
sumber

Saya tidak melihat di mana Anda membuktikan bahwa memiliki hukum yang sama dengan bergantung pada ?

P Y

$PY$

Y

$Y$

Y \in U

$Y \in U$

Stéphane Laurent

Perhatikan bahwa secara abstrak, probabilitas bersyarat (benar-benar harapan, untuk mendapatkan ruang linear ...) adalah sebuah proyeksi! Jadi pendingin pada , ketika adalah ruang bagian linear, sama dengan memproyeksikan pada .

Y \in U

$Y \in U$

U

$U$

U

$U$

kjetil b halvorsen

Maaf, tetapi klaim Anda tidak masuk akal.

Stéphane Laurent

Itulah intuisi, bukti mungkin harus berbeda. Saya keluar dari waktu sekarang, tetapi catatan bahwa distribusi normal multivariat dapat ditentukan dengan menentukan (normal) distribusi semua kombinasi linear dari komponen . Ketika matriks kovarians adalah proyeksi , pilih sebagai basis ortonormal dari . dapat ditulis . Pilih sebagai koefisien untuk kombinasi linear pada , Anda akan melihat adalah satu. Pilih untuk koefisien yang panjang-satu vektor ortogonal ke , Anda akan melihat variansnya nol.

Y

$Y$

P

$P$

u_{1}, \dots, u_{k}

$u_1, \dots, u_k$

U

$U$

P

$P$

P = \sum u_{i} u_{i}^{T}

$P=\sum u_i u_i^T$

u_{i}

$u_i$

U

$U$

kjetil b halvorsen

Jadi distribusi bertepatan dengan standar normal di , yang merupakan distribusi bersyarat dari diberikan .

P Y

$P Y$

U

$U$

Y

$Y$

Y \in U

$Y \in U$

kjetil b halvorsen