Distribusi normal standar pada subruang

8

Membiarkan URn menjadi ruang vektor dengan dim(U)=d. Distribusi normal standar aktifU adalah hukum vektor acak X=(X1,,Xn) mengambil nilai dalam U dan sedemikian rupa sehingga koordinat X jadi satu ( dalam) dasar ortonormal dari U adalah vektor acak yang terbuat dari d distribusi normal standar independen N(0,1).

Saat membaca pertanyaan ini, saya bertanya pada diri sendiri pertanyaan berikut. MembiarkanY=(Y1,,Yn) menjadi standar distribusi normal pada Rn. Apakah benar bahwa distribusi bersyaratY diberikan YU adalah distribusi normal standar pada U ?

Norma kuadrat X2dari memiliki distribusi chi-square . Jadi, jika ini benar, itu akan menjelaskan klaim @ Argha.Xχd2

Maaf jika LaTeX salah ketik, saya tidak melihat rendering LaTeX :(

EDIT 01/10/2012: Oke saya mengerti. Tuliskan dekomposisi ortogonal dari dalam . Kemudian . Itu menunjukkan bahwa (Y \ pertengahan Y \ di U) \ sim P_U Y . Ini sedikit heuristik tetapi benar secara moral. Akhirnya jelas dari definisi yang P_U Y adalah standar normal pada U .y=u+vyUU

Pr(YdyYU)=Pr(PUYdu)
(YYU)PUYPUYU
Stéphane Laurent
sumber
2
Bukankah ini sangat jelas ketika Anda mencatat bahwa basis ortonormal untuk selalu dapat dibangun dengan memperluas basis ortonormal untuk ? (Satu bukti: gunakan Gram-Schmidt pada ekstensi apa pun, baik ortonormal atau tidak). Dalam basis ini PDF dapat dipisahkan dan fortiori adalah standar normal pada , QED. RnUU
Whuber
@whuber Tolong bisakah Anda menguraikan jawaban? Bagaimana Anda memperoleh distribusi bersyarat?
Stéphane Laurent
3
Anda hanya melihatnya ! Ketika PDF benar-benar kontinu faktor , maka (a) dan adalah independen dan (b) dan adalah distribusi kondisional . f(x,y)fx(x)fy(y)XYfxfy
Whuber
@whuber aku baru saja pulang kerja. Saya akan memikirkannya nanti. Terima kasih. Tentu saja saya percaya ini jelas tapi saya lelah.
Stéphane Laurent

Jawaban:

3

Iya. Anda memiliki bahwa adalah subruang dari . Misalkan dan menjadi matriks proyeksi ortogonal pada , sehingga simetris dan idempoten. Kemudian . Ini adalah distribusi normal tunggal, yang pada subruang adalah standar normal pada subruang itu. Sebagai distribusi tunggal, tidak memiliki kepadatan sehubungan dengan ukuran volume , tetapi memiliki kepadatan sehubungan dengan (rendah-dim) Volume ukuran pada .URnYN(0,I)PUPPYN(P0,PIPT)=N(0,P)URnU

kjetil b halvorsen
sumber
Saya tidak melihat di mana Anda membuktikan bahwa memiliki hukum yang sama dengan bergantung pada ? PYYYU
Stéphane Laurent
Perhatikan bahwa secara abstrak, probabilitas bersyarat (benar-benar harapan, untuk mendapatkan ruang linear ...) adalah sebuah proyeksi! Jadi pendingin pada , ketika adalah ruang bagian linear, sama dengan memproyeksikan pada . YUUU
kjetil b halvorsen
Maaf, tetapi klaim Anda tidak masuk akal.
Stéphane Laurent
1
Itulah intuisi, bukti mungkin harus berbeda. Saya keluar dari waktu sekarang, tetapi catatan bahwa distribusi normal multivariat dapat ditentukan dengan menentukan (normal) distribusi semua kombinasi linear dari komponen . Ketika matriks kovarians adalah proyeksi , pilih sebagai basis ortonormal dari . dapat ditulis . Pilih sebagai koefisien untuk kombinasi linear pada , Anda akan melihat adalah satu. Pilih untuk koefisien yang panjang-satu vektor ortogonal ke , Anda akan melihat variansnya nol. YPu1,,ukUPP=uiuiTuiU
kjetil b halvorsen
Jadi distribusi bertepatan dengan standar normal di , yang merupakan distribusi bersyarat dari diberikan . PYUYYU
kjetil b halvorsen