Bukti saat itu menghasilkan fungsi yang secara unik menentukan distribusi probabilitas

19

Teks et al menyatakan teorema ini "Biarkan dan menunjukkan fungsi penghasil momen dari variabel acak X dan Y, masing-masing. Jika kedua fungsi penghasil momen ada dan untuk semua nilai t, maka X dan Y memiliki distribusi probabilitas yang sama. " tanpa bukti yang mengatakan itu di luar ruang lingkup teks. Scheaffer Young juga memiliki teorema yang sama tanpa bukti. Saya tidak memiliki salinan Casella, tetapi pencarian buku Google sepertinya tidak menemukan teorema di dalamnya.m y ( t ) m x ( t ) = m y ( t )mx(t)my(t)mx(t)=my(t)

Teks Gut tampaknya memiliki garis besar bukti , tetapi tidak membuat referensi ke "hasil yang terkenal" dan juga membutuhkan mengetahui hasil lain yang buktinya juga tidak disediakan.

Adakah yang tahu siapa yang awalnya membuktikan ini dan jika buktinya tersedia online di mana saja? Kalau tidak, bagaimana orang akan mengisi rincian bukti ini?

Jika saya ditanya tidak, ini bukan pertanyaan pekerjaan rumah, tapi saya bisa membayangkan ini mungkin pekerjaan rumah seseorang. Saya mengambil urutan kursus berdasarkan teks Wackerly dan saya telah bertanya-tanya tentang bukti ini selama beberapa waktu. Jadi saya pikir itu hanya waktu untuk bertanya.

Chris Simokat
sumber
3
Terkait : (i) Pembalikan mgfs dan (ii) Keberadaan fungsi dan varians momen
kardinal
3
Jika Anda memiliki akses ke teks Probabilitas dan Ukur Billingsley , ini dibahas dalam bagian berjudul, saya percaya, "Metode momen". (Permintaan maaf untuk ketidakjelasan, karena saya saat ini tidak memilikinya.) Jika saya ingat dengan benar, bukti yang ia gunakan bergantung pada hasil yang sesuai untuk fungsi karakteristik, meskipun, yang mungkin tidak sepenuhnya memuaskan. Ini tentu saja (well) di luar ruang lingkup latar belakang teks Wackerly yang diharapkan.
kardinal
1
Wow @ kardinal jawaban Anda untuk pertanyaan-pertanyaan itu lebih unggul dan sangat membantu terima kasih dan terima kasih atas rekomendasi teks saya harus mendapatkan salinannya.
Chris Simokat
2
@ cardinal Saya mengakses Billigsley sebelum saya melihat catatan Anda dan menambahkan deskripsi bukti ke jawaban saya sebelumnya.
Michael R. Chernick
2
Mengenai sejarah ("siapa yang awalnya membuktikan ini?"), Tampaknya Laplace menggunakan fungsi karakteristik untuk jenis pekerjaan ini pada tahun 1785 dan telah mengembangkan rumus inversi umum (yang merupakan kunci untuk pembuktian) pada tahun 1810. Lihat Anders Hald , A History of Statistics matematika dari 1750 hingga 1930 , bab 17.
whuber

Jawaban:

25

Bukti umum ini dapat ditemukan di Feller (Pengantar Teori Probabilitas dan Penerapannya, Vol. 2) . Ini adalah masalah inversi yang melibatkan teori Transformasi Laplace. Apakah Anda memperhatikan bahwa mgf memiliki kemiripan yang mencolok dengan Transformasi Laplace? Untuk menggunakan Transformasi Laplace Anda dapat melihat Widder (Calcus Vol I) .

Bukti kasus khusus:

Misalkan X dan Y adalah varaibles acak, keduanya hanya mengambil nilai yang mungkin dalam { }. Selanjutnya, anggaplah bahwa X dan Y memiliki MGF sama untuk semua t: n Σ x = 0 e t x f X ( x ) = n Σ y = 0 e t y f Y ( y ) Untuk mempermudah, kami akan membiarkan s = e t dan kita akan mendefinisikan c i = f0,1,2,...,n

x=0netxfX(x)=y=0netyfY(y)
s=et untuk i = 0 , 1 , , n .csaya=fX(saya)-fY(saya)saya=0,1,...,n

Sekarang n Σ x = 0 s x f X ( x ) - n Σ y = 0 s y f Y ( y ) = 0 n Σ

x=0netxfX(x)-y=0netyfY(y)=0
x=0nsxfX(x)-y=0nsyfY(y)=0
n x = 0 sx[fX(x)-fY(x)]=0 n x = 0 sxcx=0
x=0nsxfX(x)-x=0nsxfY(x)=0
x=0nsx[fX(x)-fY(x)]=0
Di atas hanyalah polinomial dalam s dengan koefisien c , 0 , c 1 , , c n . Satu-satunya cara bisa menjadi nol untuk semua nilai s adalah jika c 0 = c 1 = = c n = 0. Jadi, kita memiliki 0 = c i = f X ( i ) - f Y ( i ) untuk i = 0 , 1 , ...
x=0nsxcx=0 s>0
c0,c1,...,cnc0=c1==cn=00=csaya=fX(saya)-fY(saya) .saya=0,1,...,n

fX(saya)=fY(saya)saya=0,1,...,n

XYXY

Argha
sumber
1
Terutama Fungsi Menghasilkan Saat Unik Menentukan Distribusi.
Argha
8

Teorema yang Anda diskusikan adalah hasil dasar dalam teori probabilitas / ukuran. Bukti-bukti akan lebih mungkin ditemukan dalam buku-buku tentang probabilitas atau teori statistik. Saya menemukan hasil analog untuk fungsi karakteristik yang diberikan dalam Hoel Port and Stone hal 205-208

Tucker hal. 51-53

dan Chung pp 151-155 Ini adalah Edisi Ketiga. Saya memiliki edisi kedua dan mengacu pada nomor halaman dalam edisi kedua yang diterbitkan pada tahun 1974.

Bukti untuk mgf yang saya temukan lebih sulit ditemukan tetapi Anda dapat menemukannya dalam buku Billingley "Probability and Measure" hlm. 342-345. Pada halaman 342 Teorema 30.1 memberikan teorema yang menjawab masalah saat itu. Pada halaman 345 Billingsley menyatakan hasil bahwa jika ukuran probabilitas memiliki fungsi pembangkit momen M (s) yang didefinisikan pada interval sekitar 0 maka hipotesis untuk Teorema 30.1 terpenuhi dan karenanya pengukuran ditentukan oleh momen-momennya. Tapi momen ini ditentukan oleh M (s). Oleh karena itu ukuran ditentukan oleh fungsi pembangkit momennya jika M (s) ada di lingkungan 0. Jadi logika ini bersama dengan bukti yang dia berikan untuk Theorem30.1 membuktikan hasilnya. Billingsley juga berkomentar bahwa solusi untuk latihan 26.

Michael R. Chernick
sumber
6
Di mana ini di Chung? Apakah maksud Anda halaman 161-165, secara kebetulan? Meski begitu, itu berkaitan dengan fungsi karakteristik , bukan fungsi yang menghasilkan momen , seperti yang diminta oleh OP.
kardinal
1
@ kardinal Ya saya tahu. Saya menyebutkan hasil untuk fungsi karakteristik karena itulah yang saya temukan sejauh ini. Seperti yang saya katakan nomor halaman di Chung didasarkan pada edisi kedua yang saya miliki. Saya tidak tahu di mana muncul di edisi ketiga. Saya pikir harus ada beberapa sumber yang akan memberikan hasil untuk mgfs.
Michael R. Chernick
1
Saya terangkat, karena saya menghargai jawaban Anda juga jadi terima kasih telah meluangkan waktu.
Chris Simokat
2

XM.X(t)=EetX

δ>0M.X(t)=M.Y(t)<t(-δ,δ)FX(t)=FY(t)tR

Untuk membuktikan bahwa fungsi pembangkit momen menentukan distribusi, setidaknya ada dua pendekatan:

  • M.X(-δ,δ)XFX(EXk)kNM.X

  • M.X(-δ,δ)×sayaRCM.X(z)=EezXM.X(sayat)=φX(t)tRφXFXCurtiss, JH Ann. Matematika Statistik 13: 430-433 dan referensi di dalamnya.

Di tingkat sarjana, hampir setiap buku teks bekerja dengan fungsi menghasilkan momen dan menyatakan teorema di atas tanpa membuktikannya. Masuk akal, karena buktinya membutuhkan matematika yang jauh lebih maju daripada tingkat sarjana memungkinkan.

φX(t)=EesayatX

pengguna334639
sumber
Hari ini, mgfs tidak boleh diabaikan karena mereka jauh lebih berguna secara numerik daripada fungsi karakteristik
kjetil b halvorsen
1
Memang! Namun saya belum pernah melihat buku teks yang menekankan metode numerik tetapi memiliki matematika yang cukup dalam untuk memberikan bukti Teorema Keunikan.
user334639