Menemukan kepadatan marginal dari

Seperti judulnya, saya mencari kepadatan marginal dari

f (x, y) = c \sqrt{1 - x^{2} - y^{2}}, x^{2} + y^{2} \leq 1.

$f (x,y) = c \sqrt{1 - x^2 - y^2}, x^2 + y^2 \leq 1.$

Sejauh ini saya telah menemukan $c$ menjadi $\frac{3}{2 \pi}$ . Saya menemukan itu melalui mengubah $f(x,y)$ menjadi koordinat kutub dan mengintegrasikan lebih dari $drd\theta$ , itulah sebabnya saya terjebak pada bagian kepadatan marginal. Saya tahu bahwa $f_x(x) = \int_{-\infty}^\infty f(x,y)dy$ , tetapi saya tidak yakin bagaimana menyelesaikannya tanpa mendapatkan integral besar yang berantakan, dan saya tahu jawabannya tidak seharusnya integral besar yang berantakan. Apakah mungkin untuk mencari $F(x,y)$ , dan kemudian ambil $\frac{dF}{dx}$ untuk menemukan $f_x(x)$ ? Itu sepertinya cara intuitif untuk melakukannya, tetapi sepertinya saya tidak dapat menemukan apa pun di buku teks saya yang menyatakan hubungan itu, jadi saya tidak ingin membuat asumsi yang salah.

self-study marginal multivariable Jarrod
sumber

@ kwak Saya tidak yakin mengapa mengubah judul itu perlu ... tag "pekerjaan rumah" harus cukup.

Shane

@Shane:> ok diubah kembali ke aslinya.

user603

Jawaban:

$f$ $(4 \pi /3)/2$ $c=3/(2 \pi)$

whuber
sumber

Ahh, itu semacam kembali padaku dari kalkulus multivariabel. Saya ingat melakukan masalah seperti itu. Bagaimana cara menemukan jari-jari sebagai fungsi dari variabel yang tersisa? Sepertinya aku masih akan memiliki semacam monster integral yang tersisa.

Jarrod

y

$y$

x^{2} \leq 1 - y^{2}

$x^2 \le 1-y^2$

\sqrt{1 - y^{2}}

$\sqrt{1 - y^2}$

π (1 - y^{2}) / 2.

$\pi (1 - y^2)/2.$

Oh benar Itu terlintas di benak saya, tetapi tampaknya terlalu sederhana. Saya kira saya bertekad untuk menjadi rumit. Terima kasih!

Jarrod

Saya lupa bertanya: bagaimana angka c dalam hal ini?

Jarrod

Menurut pendapat saya, jawaban Whuber layak untuk diangkat karena dua alasan. Pertama menjawab pertanyaan yang diajukan, kedua sebagai model untuk bagaimana kita di masa depan dapat menangani (mengerjakan secara eksplisit) pertanyaan pekerjaan rumah: jenis jawaban ini sebenarnya berkontribusi pada proses pembelajaran dan bisa menjadi kebijakan yang lebih baik sehubungan dengan pertanyaan pekerjaan rumah daripada yang diadopsi di MO / SO.

user603