Dari Theory of Statistics oleh Mark J. Schervish (halaman 12):
Meskipun teorema 1,Finetti representasi 1,49 adalah pusat untuk memotivasi model parametrik, itu sebenarnya tidak digunakan dalam implementasi mereka.
Bagaimana teorema pusat untuk model parametrik?
Jawaban:
Teorema Representasi De Finetti memberikan dalam satu kesempatan, dalam interpretasi subyektifitas probabilitas, raison d'être model statistik dan makna parameter dan distribusi mereka sebelumnya.
Misalkan variabel acak mewakili hasil lemparan koin berturut-turut, dengan nilai dan -masing sesuai dengan hasil "Kepala" dan "Ekor". Menganalisis, dalam konteks interpretasi subyektifistik dari kalkulus probabilitas, makna model frequentist biasa di mana adalah independen dan terdistribusi secara identik, De Finetti mengamati bahwa kondisi independensi akan menyiratkan, misalnya, bahwa dan, oleh karena itu, hasil dari pertama lemparan tidak akan mengubah ketidakpastian saya tentang hasil 1 0 X i P { X n = x n ∣ X 1 = x 1 , … , X n - 1 = x n - 1 } = P { X n = x n }X1,…,Xn 1 0 Xi N - 1 n apriori 999 1 / 2 X i
Pengamatan ini membawa De Finetti pada pengenalan kondisi yang lebih lemah daripada independensi yang menyelesaikan kontradiksi yang tampak ini. Kunci dari solusi De Finetti adalah sejenis simetri distribusi yang dikenal sebagai pertukaran.
{ X i } n i = 1 μ X 1 , ... , X n μ X 1 , ... , X n = μ X π ( 1 ) , ... , X π ( n ) π : { 1 , ... , n } → { 1 , … , n } { X iDefinition. Untuk himpunan terbatas yang diberikan dari objek acak, misalkan menunjukkan distribusi gabungannya. Himpunan terbatas ini dapat ditukar jika , untuk setiap permutasi . Urutan dari objek acak dapat ditukar jika masing-masing subset terbatasnya dapat dipertukarkan.{Xi}ni=1 μX1,…,Xn μX1,…,Xn=μXπ(1),…,Xπ(n) π:{1,…,n}→{1,…,n} {Xi}∞i=1
Misalkan hanya bahwa urutan variabel acak dapat ditukar, De Finetti membuktikan teorema terkenal yang menyoroti makna model statistik yang umum digunakan. Dalam kasus khusus ketika mengambil nilai dan , Teorema Representasi De Finetti mengatakan bahwa dapat ditukar jika dan hanya jika ada variabel acak , dengan distribusi , sehingga di mana . Apalagi kita punya itu{Xi}∞i=1 Xi 0 1 {Xi}∞i=1 Θ:Ω→[0,1] μΘ
Teorema Representasi ini menunjukkan bagaimana model statistik muncul dalam konteks Bayesian: di bawah hipotesis pertukaran yang dapat diamati , a sedemikian sehingga, diberi nilai , yang dapat diamati adalah independen dan terdistribusi secara identik. Selain itu, hukum kuat De Finetti menunjukkan bahwa pendapat kami sebelumnya tentang tidak dapat diobservasi , yang diwakili oleh distribusi , adalah pendapat tentang batas , sebelum kita memiliki informasi tentang nilai-nilai realisasi. dari salah satu{Xi}∞i=1 there is parameter Θ Θ conditionally Θ μΘ X¯n Xi ini Parameter memainkan peran konstruksi anak perusahaan yang berguna, yang memungkinkan kita untuk mendapatkan probabilitas bersyarat yang hanya melibatkan yang dapat diamati melalui hubungan seperti
Θ
sumber
Secara matematis semuanya benar dalam jawaban Zen. Namun saya tidak setuju pada beberapa poin. Perlu diketahui bahwa saya tidak mengklaim / percaya bahwa sudut pandang saya adalah yang baik; sebaliknya saya merasa poin-poin ini belum sepenuhnya jelas bagi saya. Ini adalah pertanyaan filosofis yang ingin saya diskusikan (dan latihan bahasa Inggris yang baik untuk saya), dan saya juga tertarik dengan saran apa pun.
Tentang contoh dengan "Kepala", komentar Zen: "hipotesis independensi akan menyiratkan bahwa tidak mungkin untuk mempelajari apa pun tentang koin dengan mengamati hasil lemparannya." Ini tidak benar dari perspektif frequentist: belajar tentang koin berarti belajar tentang , yang dimungkinkan dengan memperkirakan (titik-estimasi atau interval kepercayaan) dari hasil sebelumnya . Jika frequentist mengamati "Heads" maka dia menyimpulkan bahwa kemungkinan mendekati , dan demikian pula konsekuensinya.999 Xi θ θ 999 999 θ 1 Pr(Xn=1)
Ngomong-ngomong, dalam contoh lemparan koin ini, apa yang dimaksud dengan acak ? Membayangkan masing-masing dari dua orang memainkan permainan lempar koin dalam jumlah tak terbatas dengan koin yang sama, mengapa mereka menemukan ? Saya ada dalam pikiran bahwa karakteristik melempar koin adalah fixed yang merupakan nilai umum dari untuk setiap gamer ("hampir semua gamer" karena alasan matematis teknis). Contoh yang lebih konkret yang tidak ada interpretasi acak adalah kasus pengambilan sampel acak dengan penggantian dalam populasi terbatas dan .Θ θ=X¯∞ θ X¯∞ Θ 0 1
Tentang buku Schervish dan pertanyaan yang diajukan oleh OP Saya pikir (dengan cepat) Schervish berarti bahwa pertukaran adalah asumsi "keren" dan kemudian teorema deFinetti adalah "keren" karena dikatakan bahwa setiap model yang dapat ditukar memiliki representasi parametrik. Tentu saja saya setuju sepenuhnya. Namun jika saya mengasumsikan model yang dapat ditukar seperti dan maka saya akan tertarik untuk melakukan inferensi tentang dan , bukan tentang realisasi . Jika saya hanya tertarik pada realisasi maka saya tidak melihat minat untuk mengasumsikan pertukaran.(Xi∣Θ=θ)∼iidBernoulli(θ) Θ∼Beta(a,b) a b Θ Θ
Itu terlambat...
sumber
Kalian mungkin tertarik pada makalah tentang hal ini (berlangganan jurnal diperlukan untuk akses - coba mengaksesnya dari universitas Anda):
O'Neill, B. (2011) Pertukaran, korelasi dan Efek Bayes. Tinjauan Statistik Internasional 77 (2), hlm. 241-250.
Makalah ini membahas teorema representasi sebagai dasar untuk kedua model IID Bayesian dan sering, dan juga menerapkannya pada contoh melempar koin. Ini harus menjernihkan diskusi tentang asumsi paradigma frequentist. Ini benar-benar menggunakan ekstensi yang lebih luas untuk teorema representasi melampaui model binomial, tetapi tetap harus bermanfaat.
sumber