Membatasi Jumlah dari varian iid Gamma

Misalkan menjadi urutan variabel acak yang didistribusikan secara independen dan identik dengan fungsi kepadatan probabilitas; Tunjukkan bahwa $X_1,X_2,\ldots$

f (x) = {\begin{cases} \frac{1}{2} x^{2} e^{- x} & if x > 0; \\ 0 & otherwise . \end{cases}

$f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{2}x^2 e^{-x} & \mbox{if $x>0$};\\ 0 & \mbox{otherwise}.\end{array} \right.$

lim_{n \to \infty} P [X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n} \geq 3 (n - \sqrt{n})] \geq \frac{1}{2}

$\lim_{n\to \infty} P[X_1+X_2+\ldots+X_n\ge 3(n-\sqrt{n})] \ge \frac{1}{2}$

Apa yang saya coba

Pada pandangan pertama saya pikir itu harus menggunakan ketidaksetaraan Chebyshev karena pertanyaan yang diajukan menunjukkan batas bawah $X_1+X_2+\ldots +X_n$ . Namun, saya berpikir tentang tanda batas yang jelas menunjukkan bahwa masalah tersebut entah bagaimana dapat terkait dengan Central Limit Theorem (CLT)

Biarkan $S_n=X_1+X_2+\ldots +X_n$

E (S_{n}) = \sum_{i = 0}^{n} E (X_{i}) = 3 n (since E (X_{i}) = 3) V (S_{n}) = \sum_{i = 0}^{n} V (X_{i}) = 3 n (since V (X_{i}) = 3 and X_{i} are i.i.d)

$E(S_n)=\sum_{i=0}^{n} E(X_i)=3n \ (\text{since } E(X_i)=3) \\ V(S_n)=\sum_{i=0}^{n} V(X_i)=3n \ (\text{since } V(X_i)=3 \text{ and } X_i \text{ are i.i.d})$

Sekarang, Menggunakan CLT, untuk besar $n$ , $X_1+X_2+........+X_n \sim N(3n,3n)$
Atau,

z = \frac{S_{n} - 3 n}{\sqrt{3 n}} \sim N (0, 1) as n \to \infty

$z=\frac{S_n-3n}{\sqrt{3n}} \sim N(0,1) \text{ as } n\to \infty$

Sekarang,

lim_{n \to \infty} P [X_{1} + X_{2} + . . . . . . . . + X_{n} \geq 3 (n - \sqrt{n})] = lim_{n \to \infty} P (S_{n} - 3 n \geq - 3 \sqrt{n}) = lim_{n \to \infty} P (\frac{S_{n} - 3 n}{\sqrt{3 n}} \geq - \sqrt{3}) = P (z \geq - \sqrt{3}) = P (- \sqrt{3} \leq z < 0) + P (z \geq 0) = P (- \sqrt{3} \leq z < 0) + \frac{1}{2} \dots (1)

$\lim_\limits{n\to \infty} P[X_1+X_2+........+X_n\ge 3(n-\sqrt{n})] = \lim_\limits{n\to \infty}P(S_n-3n \ge -3\sqrt{n}) = \lim_\limits{n\to \infty} P\left(\frac{S_n-3n}{\sqrt{3n}} \ge -\sqrt{3}\right) =P(z\ge -\sqrt{3}) =P\left(-\sqrt{3}\le z<0\right)+P(z\ge 0 ) =P\left(-\sqrt{3}\le z<0\right)+\frac{1}{2}\cdots(1)$

Karena $P(-\sqrt{3}\le z<0) \ge 0$ , maka dari $(1)$ ,

lim_{n \to \infty} P [X_{1} + X_{2} + . . . . . . . . + X_{n} \geq 3 (n - \sqrt{n})] \geq \frac{1}{2}

$\lim_\limits{n\to \infty} P[X_1+X_2+........+X_n\ge 3(n-\sqrt{n})]\ge \frac{1}{2}$

Apakah saya benar?

probability self-study
sumber

CLT tampaknya merupakan pendekatan yang masuk akal tetapi " "tidak masuk akal ..

lim_{n \to \infty} P [X_{1} + X_{2} + . . . . . . . . + X_{n} \geq 3 (n - \sqrt{n})] = P (S_{n} - 3 n \geq - 3 \sqrt{n})

$\lim_\limits{n\to \infty} P[X_1+X_2+........+X_n\ge 3(n-\sqrt{n})] =P(S_n-3n \ge -3\sqrt{n})$

P.Windridge

Saya pikir itu harus

lim_{n \to \infty} P [X_{1} + X_{2} + . . . . . . . . + X_{n} \geq 3 (n - \sqrt{n})] = lim_{n \to \infty} P (S_{n} - 3 n \geq - 3 \sqrt{n}) = lim_{n \to \infty} P (\frac{S_{n} - 3 n}{\sqrt{3 n}} \geq - \sqrt{3}) = P (z \geq - \sqrt{3})

Sebagai alternatif, pertimbangkan bahwa iid dan juga . The median dari suatu variabel acak Gamma tidak diketahui dalam bentuk tertutup tetapi yang dikenal (lih Wikipedia ) bahwa untuk besar , median dari variabel acak kebohongan antara dan . Karena , pastilah setidaknya setengah dari massa probabilitas terletak di sebelah kanan .

X_{i} \sim Γ (3, 1)

$X_i \sim\Gamma(3,1)$

X_{1} + X_{2} + \cdot + X_{n} \sim Γ (3 n, 1)

$X_1+X_2+\cdot+X_n \sim \Gamma(3n,1)$

n

$n$

Γ (3 n, 1)

$\Gamma(3n,1)$

3 n - \frac{1}{3}

$3n-\frac 13$

3 n

$3n$

3 (n - \sqrt{n}) < 3 n - \frac{1}{3}

$3(n-\sqrt{n}) < 3n-\frac 13$

3 (n - \sqrt{n})

$3(n-\sqrt{n})$

Dilip Sarwate

Anda benar bahwa Ketimpangan Chebyshev akan berhasil. Ini memberikan batas yang agak kasar tetapi efektif yang berlaku untuk banyak sekuens seperti itu, mengungkapkan bahwa fitur penting dari sekuens ini adalah bahwa varian jumlah parsial tumbuh paling linear dengan . $n$

Pertimbangkan, kemudian, kasus yang sangat umum dari setiap urutan variabel tidak berkorelasi dengan mean dan varian terbatas Biarkan menjadi jumlah dari pertama dari mereka, $X_i$ $\mu_i$ $\sigma_i^2.$ $Y_n$ $n$

Y_{n} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i} .

$Y_n = \sum_{i=1}^n X_i.$

Akibatnya rata-rata adalah $Y_n$

m_{n} = \sum_{i = 1}^{n} μ_{n}

$m_n = \sum_{i=1}^n \mu_n$

dan variansnya adalah

s_{n}^{2} = Var (Y_{n}) = \sum_{i = 1}^{n} Var (X_{i}) + 2 \sum_{j > i} Cov (X_{i}, X_{j}) = \sum_{i = 1}^{n} σ_{i}^{2} .

$s_n^2 = \operatorname{Var}(Y_n) = \sum_{i=1}^n \operatorname{Var}(X_i) + 2\sum_{j > i}\operatorname{Cov}(X_i,X_j) = \sum_{i=1}^n \sigma_i^2.$

Misalkan tumbuh paling linear dengan : $s_n^2$ $n$ yaitu, ada angka sehingga untuk semua cukup besar Biarkan (belum ditentukan), amati itu $\lambda\gt 0$ $n,$ $s_n^2 \le \lambda^2 n.$ $k\gt 0$

m - k \sqrt{n} \leq m - \frac{k}{λ} s_{n},

$m - k \sqrt{n} \le m - \frac{k}{\lambda}s_n,$

dan menerapkan Ketimpangan Chebyshev ke untuk mendapatkan $Y_n$

\begin{aligned} Pr (Y_{n} \geq m_{n} - k \sqrt{n}) & \geq Pr (Y_{n} \geq m_{n} - \frac{k}{λ} s_{n}) \\ \geq Pr (| Y_{n} - m_{n} | \leq \frac{k}{λ} s_{n}) \\ \geq 1 - \frac{λ^{2}}{k^{2}} . \end{aligned}

$\eqalign{ \Pr(Y_n \ge m_n - k\sqrt{n}) &\ge \Pr(Y_n \ge m_n - \frac{k}{\lambda}s_n) \\ &\ge \Pr(|Y_n - m_n| \le \frac{k}{\lambda} s_n) \\ &\ge 1 - \frac{\lambda^2}{k^2}. }$

Dua ketidaksetaraan pertama adalah dasar: mereka mengikuti karena setiap peristiwa berturut-turut adalah bagian dari yang sebelumnya.

Dalam kasus yang dihadapi, di mana independen (dan karena itu tidak berkorelasi) dengan mean dan varians kita memiliki dan $X_i$ $\mu_i=3$ $\sigma_i^2=3,$ $m_n=3n$

s_{n} = \sqrt{3} \sqrt{n},

$s_n = \sqrt{3}\sqrt{n},$

di mana kita dapat mengambil sekecil Peristiwa dalam pertanyaan sesuai dengan mana $\lambda$ $\sqrt{3}.$ $3(n-\sqrt{n}) = \mu_n - 3\sqrt{n}$ $k=3,$

Pr (Y_{n} \geq 3 n - 3 \sqrt{n}) \geq 1 - \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} = \frac{2}{3} > \frac{1}{2},

$\Pr(Y_n \ge 3n - 3\sqrt{n}) \ge 1 - \frac{\sqrt{3}^{\ 2}}{3^2} = \frac{2}{3}\gt \frac{1}{2},$

QED.

whuber
sumber

Membatasi Jumlah dari varian iid Gamma

Jawaban: