Apa saja distribusi di atas probabilitas simpleks?

16

Biarkan menjadi probabilitas simpleks dimensi , yaitu sedemikian rupa sehingga dan .ΔKK1xΔKxi0ixi=1

Distribusi apa yang sering (atau terkenal, atau didefinisikan di masa lalu) selama ada?ΔK

Jelas, ada Dirichlet dan distribusi Logit-Normal. Apakah ada distribusi lain yang muncul secara alami dalam konteks ini?

singelton
sumber

Jawaban:

7

Ini dipelajari dalam analisis data komposisi, ada buku oleh Aitchison: Analisis Statistik Data Komposisi .

Definisikan simpleks dengan

Sn={(x1,,xn+1)Rn+1:x1>0,,xn+1>0,i=1n+1xi=1}.
Perhatikan bahwa kita menggunakan indeks n untuk menunjukkan dimensi! Definisikan rata-rata geometrik elemen simpleks,x sebagaix~ . Kemudian kita dapat mendefinisikan transformasi logratio (diperkenalkan oleh Aitchison) sebagaix=(x1,,xn+1)(log(x1/x~),,log(xn/x~) . Transformasi ini adalah keRn, jadi miliki invers yang saya tinggalkan untuk Anda hitung (Ada juga versi lain dari transformasi ini yang dapat digunakan, yang mungkin memiliki properti matematika yang lebih baik, lebih banyak tentang itu nanti).

Sekarang Anda dapat mengambil distribusi normal (atau apa pun) yang didefinisikan pada Rn dan menggunakan transformasi terbalik ini untuk menentukan distribusi pada simpleks. Kemungkinannya tidak terbatas, untuk masing-masing dan setiap distribusi multivarian pada Rn kita mendapatkan distribusi pada simpleks.

Saya akan menambah posting ini nanti dengan beberapa contoh, dan lebih banyak detail pada transformasi rasio log.

kjetil b halvorsen
sumber