Apakah varians jumlah sama dengan jumlah varians?

62

Apakah itu (selalu) benar bahwa

V Sebuah r (\sum_{saya = 1}^{m} X_{saya}) = \sum_{saya = 1}^{m} V Sebuah r (X_{saya}) ?

$\mathrm{Var}\left(\sum\limits_{i=1}^m{X_i}\right) = \sum\limits_{i=1}^m{\mathrm{Var}(X_i)} \>?$

variance Abe
sumber

3

Jawaban di bawah ini memberikan buktinya. Intuisi dapat dilihat dalam kasus sederhana var (x + y): jika x dan y berkorelasi positif, keduanya akan cenderung besar / kecil bersama-sama, meningkatkan variasi total. Jika mereka berkorelasi negatif, mereka akan cenderung saling membatalkan, mengurangi variasi total.

Assad Ebrahim

91

Jawaban atas pertanyaan Anda adalah "Terkadang, tetapi tidak secara umum".

Untuk melihat membiarkan ini $X_1, ..., X_n$ menjadi variabel acak (dengan varian terbatas). Kemudian,

v Sebuah r (\sum_{saya = 1}^{n} X_{saya}) = E ({[\sum_{saya = 1}^{n} X_{saya}]}^{2}) - {[E (\sum_{saya = 1}^{n} X_{saya})]}^{2}

${\rm var} \left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) = E \left( \left[ \sum_{i=1}^{n} X_i \right]^2 \right) - \left[ E\left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) \right]^2$

Sekarang perhatikan bahwa , yang jelas jika Anda berpikir tentang apa yang Anda lakukan ketika Anda menghitung dengan tangan. Karena itu, $(\sum_{i=1}^{n} a_i)^2 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_i a_j$ $(a_1+...+a_n) \cdot (a_1+...+a_n)$

E ({[\sum_{saya = 1}^{n} X_{saya}]}^{2}) = E (\sum_{saya = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} X_{saya} X_{j}) = \sum_{saya = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} E (X_{saya} X_{j})

$E \left( \left[ \sum_{i=1}^{n} X_i \right]^2 \right) = E \left( \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} X_i X_j \right) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} E(X_i X_j)$

demikian pula,

{[E (\sum_{saya = 1}^{n} X_{saya})]}^{2} = {[\sum_{saya = 1}^{n} E (X_{saya})]}^{2} = \sum_{saya = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} E (X_{saya}) E (X_{j})

$\left[ E\left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) \right]^2 = \left[ \sum_{i=1}^{n} E(X_i) \right]^2 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} E(X_i) E(X_j)$

begitu

v Sebuah r (\sum_{saya = 1}^{n} X_{saya}) = \sum_{saya = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} (E (X_{saya} X_{j}) - E (X_{saya}) E (X_{j})) = \sum_{saya = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} c Hai v (X_{saya}, X_{j})

${\rm var} \left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \big( E(X_i X_j)-E(X_i) E(X_j) \big) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} {\rm cov}(X_i, X_j)$

oleh definisi kovarians.

Sekarang mengenai Apakah varians dari jumlah sama dengan jumlah varian? :

Jika variabel tidak berkorelasi, ya : yaitu, untuk , maka ${\rm cov}(X_i,X_j)=0$ $i\neq j$
$v a r (\sum_{i = 1}^{n} X_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} c o v (X_{i}, X_{j}) = \sum_{i = 1}^{n} c o v (X_{i}, X_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} v a r (X_{i})$ ${\rm var} \left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} {\rm cov}(X_i, X_j) = \sum_{i=1}^{n} {\rm cov}(X_i, X_i) = \sum_{i=1}^{n} {\rm var}(X_i)$
Jika variabel yang berkorelasi, tidak, tidak secara umum : Misalnya, adalah dua variabel acak masing-masing dengan varians dan di mana . Kemudian $X_1, X_2$ $\sigma^2$ ${\rm cov}(X_1,X_2)=\rho$ $0 < \rho <\sigma^2$ , jadi identitasnya gagal. ${\rm var}(X_1 + X_2) = 2(\sigma^2 + \rho) \neq 2\sigma^2$
tapi mungkin untuk contoh tertentu : Misalkan memiliki kovarians matriks maka $X_1, X_2, X_3$
$(\begin{array}{ccc} 1 & 0,4 & - 0,6 \\ 0,4 & 1 & 0,2 \\ - 0,6 & 0,2 & 1 \end{array})$ $\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0.4 &-0.6 \\ 0.4 & 1 & 0.2 \\ -0.6 & 0.2 & 1 \\ \end{array} \right)$ ${\rm var}(X_1+X_2+X_3) = 3 = {\rm var}(X_1) + {\rm var}(X_2) + {\rm var}(X_3)$

Oleh karena itu jika variabel tidak berkorelasi maka varians dari penjumlahan adalah jumlah dari varians, tetapi sebaliknya tidak berlaku secara umum.

Makro
sumber

cov (X_{i}, X_{j}) = cov (X_{j}, X_{i})

$\text{cov}(X_i,X_j)=\text{cov}(X_j,X_i)$

cov (X_{1}, X_{2}) = cov (X_{2}, X_{3}) = 0.3

$\text{cov}(X_1, X_2) = \text{cov}(X_2,X_3) = 0.3$

0.6

$0.6$

cov (X_{1}, X_{2}) = a

$\text{cov}(X_1, X_2) = a$

cov (X_{2}, X, 3) = 0.6 - a

$\text{cov}(X_2,X,3) = 0.6 -a$

41

Var (\sum_{saya = 1}^{m} X_{saya}) = \sum_{saya = 1}^{m} Var (X_{saya}) + 2 \sum_{saya < j} Cov (X_{saya}, X_{j}) .

$\text{Var}\bigg(\sum_{i=1}^m X_i\bigg) = \sum_{i=1}^m \text{Var}(X_i) + 2\sum_{i\lt j} \text{Cov}(X_i,X_j).$

$0$

$\text{Var}(X_1)=1$ $X_2 = X_1$ $\text{Var}(X_1 + X_2) = \text{Var}(2X_1)=4$

Douglas Zare
sumber

Jarang akan benar untuk varian sampel.

DWin

1

X

$X$

15

Saya hanya ingin menambahkan versi yang lebih ringkas dari bukti yang diberikan oleh Makro, jadi lebih mudah untuk melihat apa yang terjadi. $\newcommand{\Cov}{\text{Cov}}\newcommand{\Var}{\text{Var}}$

$\Var(X) = \Cov(X,X)$

$X,Y$

\begin{aligned} Var (X + Y) & = Cov (X + Y, X + Y) \\ = E ((X + Y)^{2}) - E (X + Y) E (X + Y) \\ dengan memperluas, \\ = E (X^{2}) - (E (X))^{2} + E (Y^{2}) - (E (Y))^{2} + 2 (E (X Y) - E (X) E (Y)) \\ = Var (X) + Var (Y) + 2 (E (X Y)) - E (X) E (Y)) \end{aligned}

$\begin{align} \Var(X+Y) &= \Cov(X+Y,X+Y) \\ &= E((X+Y)^2)-E(X+Y)E(X+Y) \\ &\text{by expanding,} \\ &= E(X^2) - (E(X))^2 + E(Y^2) - (E(Y))^2 + 2(E(XY) - E(X)E(Y)) \\ &= \Var(X) + \Var(Y) + 2(E(XY)) - E(X)E(Y)) \\ \end{align}$

X, Y

$X,Y$

E (X Y) = E (X) E (Y)

$E(XY) = E(X)E(Y)$

Var (X + Y) = Var (X) + Var (Y)

$\Var(X+Y) = \Var(X) + \Var(Y)$

$n$

Omar Haque
sumber

11

$X_i$

Lihat penjelasan di Wikipedia

Abe
sumber

Saya setuju. Anda juga menemukan penjelasan (r) sederhana tentang Insight Things .

Jan Rothkegel

Apakah varians jumlah sama dengan jumlah varians?

Jawaban: