Jika

Untuk variabel acak berkesinambungan $X$ , jika $E(|X|)$ adalah terbatas, apakah $\lim_{n\to\infty}n P(|X|>n)=0$ ?

Ini adalah masalah yang saya temukan di internet, tetapi saya tidak yakin apakah itu berfungsi atau tidak.

Saya tahu bahwa $n P(|X|>n)<E(|X|)$ dipegang oleh Markov, tetapi saya tidak dapat menunjukkan bahwa $n$ menjadi 0 karena menuju tak terhingga.

probability expected-value probability-inequalities 456 123
sumber

(1) Kontinuitas tidak diperlukan. (2) Nyatakan ekspektasi sebagai bagian integral dari fungsi survival

Pr (| X | > n)

$\Pr(|X|\gt n)$ . (3) Pertimbangkan alat kontrasepsi: apa yang akan dinyatakan oleh batas bukan nol tentang harapan?

whuber

@whuber latihan yang bagus! Saya pikir saya memiliki jawaban yang benar, tetapi karena ini sepertinya self-study, saya tidak berpikir saya harus menulisnya di sini. Bisakah saya membuat ruang obrolan pribadi dan menunjukkan solusi saya, sehingga Anda dapat memberi tahu saya apakah itu benar?

DeltaIV

@Delta Ini adalah kasus di mana memposting jawaban Anda tampaknya baik-baik saja bagi saya: OP memiliki sub-pertanyaan spesifik dan tampaknya tidak hanya mencari jawaban pekerjaan rumah.

whuber

@whuber ini mengingatkan saya pada tidak adanya distribusi seragam atas bilangan asli - apakah ini berarti bahwa sementara kontinuitas tidak diperlukan di sini, aditivitas yang dapat dihitung adalah ?

Bill Clark

Jawaban:

Lihatlah urutan variabel acak didefinisikan dengan hanya mempertahankan nilai:Jelas bahwa , jadi Perhatikan bahwa danuntuk setiap . Jadi LHS dari (1) cenderung nol dengan konvergensi dominan . $\{Y_n\}$ $|X|$

Y_{n} := | X | I (| X | > n) .

$Y_n:=|X|I(|X|>n).$

Y_{n} \geq n I (| X | > n)

$Y_n\ge nI(|X|>n)$

\begin{matrix} (1) & E (Y_{n}) \geq n P (| X | > n) . \end{matrix}

$E(Y_n)\ge nP(|X|>n).\tag1$

Y_{n} \to 0

$Y_n\to0$

| Y_{n} | \leq | X |

$|Y_n|\le |X|$

n

$n$

grand_chat
sumber

Saya pikir maksud Anda "RHS" dalam kalimat terakhir, jika tidak, kerja bagus!

jbowman

@jbowman, s / maksudnya oleh teorema konvergensi yang didominasi (perhatikan bahwa saja tidak cukup untuk mencapai kesimpulan itu). Saya menambahkan tautan ke DCT di wikipedia

E Y_{n} \to 0

$\mathbb{E}{Y_n} \to 0$

Y_{n} \to 0

$Y_n \to 0$

P.Windridge

@ P.Windridge - Saya tidak cukup membaca, dan mengaitkan "Jadi LHS" dengan persamaan 1, alih-alih dengan kalimat sebelumnya. Salahku.

jbowman

Perhatikan bahwa adalah variabel acak. dalam arti apa?

Y_{n}

$Y_n$

Y_{n} \to 0

$Y_n\rightarrow 0$

YHH

@ YHH Konvergensi adalah pointwise: Untuk setiap , sebagai .

ω

$\omega$

Y_{n} (ω) \to 0

$Y_n(\omega)\to0$

n \to \infty

$n\to\infty$

grand_chat

Saya dapat memberikan jawaban untuk variabel acak kontinu (pasti ada jawaban yang lebih umum). Biarkan: $Y=|X|$

E [Y] = \int_{0}^{\infty} y f_{Y} (y) d y = \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y + \int_{n}^{\infty} y f_{Y} (y) d y \geq \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y + n \int_{n}^{\infty} f_{Y} (y) d y = \dots + n (F_{Y} (\infty) - F_{Y} (n)) = \dots + n (1 - F_{Y} (n)) = \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y + n P (Y > n)

$\mathbb{E}[Y]=\int_0^\infty yf_Y(y)\text{d}y=\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y+\int_n^\infty yf_Y(y)\text{d}y\ge\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y+n\int_n^\infty f_Y(y)\text{d}y=\dots+n\left(F_Y(\infty)-F_Y(n)\right)=\dots+n(1-F_Y(n))=\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y+nP(Y\gt n)$

Jadi

0 \leq n P (Y > n) \leq (E [Y] - \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y)

$0\leq nP(Y\gt n)\le\left(\mathbb{E}[Y]-\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y\right)$

Sekarang, karena dengan hipotesis adalah terbatas, kita memilikinya $\mathbb{E}[Y]$

lim_{n \to \infty} (E [Y] - \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y) = E [Y] - lim_{n \to \infty} \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y = E [Y] - E [Y] = 0

$\lim_{n\to \infty}\left(\mathbb{E}[Y]-\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y\right)=\mathbb{E}[Y]-\lim_{n\to \infty}\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y=\mathbb{E}[Y]-\mathbb{E}[Y]=0$

Kemudian

lim_{n \to \infty} n P (Y > n) = 0

$\lim_{n\to \infty}nP(Y\gt n)=0$

oleh teorema sandwich.

DeltaIV
sumber

@ P.Windridge dapatkah Anda memeriksa bahwa saya juga menggunakan teorema konvergensi dominan? Saya memiliki kuantitas, , yang tidak negatif, dan tidak lebih besar dari kuantitas yang batasnya adalah 0, dengan demikian dalam aplikasi saya dari dalil. Terima kasih

n P (Y > n)

$nP(Y>n)$

lim_{n \to \infty} n P (Y > n) = 0

$\lim_{n\to\infty}nP(Y>n)=0$

DeltaIV

@ DeltaIV- pertama, untuk memperjelas, " dan menyiratkan " BUKAN teorema konvergensi yang didominasi (biasanya disebut teorema sandwich).

a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}

$a_n \le b_n \le c_n$

a_{n}, c_{n} \to l

$a_n, c_n \to l$

b_{n} \to l

$b_n\to l$

P.Windridge

@ DeltaIV- tidak, Anda tidak perlu DCT, MCT sudah cukup (ini termasuk kemungkinan bahwa , tapi kemudian Anda tidak bisa mengatakan !)

E Y = \infty

$\mathbb{E} Y = \infty$

E Y - E Y = \infty - \infty = 0

$\mathbb{E} Y -\mathbb{E} Y = \infty - \infty = 0$

P.Windridge

Tidak masalah. Btw, saya tahu terbatas oleh asumsi, saya baru saja menjelaskan di mana Anda menggunakan asumsi itu (MCT itu sendiri tidak memerlukannya, tidak seperti DCT, yang digunakan @grand_chat dan saya harap Anda melihat :)).

E [Y]

$E[Y]$

P.Windridge

@ P.Windridge ah, ok! Saya tidak melihat bahwa MCT tidak memerlukan asumsi. Saya memang melihat DCT, itu sebabnya saya pikir saya tidak membutuhkannya untuk bukti saya :) Saya membayar harga karena tidak diajarkan tentang integrasi Lebesgue di universitas ... karena alasan ini, saya terbiasa lakukan kalkulus probabilitas dalam hal pdf, bukan dalam hal ukuran.

DeltaIV

$E\left | X \right |< \infty \Leftrightarrow E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |>n}\rightarrow 0$ (integral seragam)

$E\left | X \right |=E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |>n}+E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |\leq n}$

$E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |>n}\leq E\left | X \right |< \infty$

$E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |>n}\geq nE\mathbb{I}_{\left | X \right |>n}=nP\left ( \left | X \right |>n\right )$

$E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |>n} \rightarrow 0 \Rightarrow nP\left ( \left | X \right |>n\right )\rightarrow 0 \Rightarrow P\left ( \left | X \right |>n\right )\rightarrow 0$

yaitu $\underset{n\rightarrow \infty}{\lim} P\left ( \left | X \right |>n\right )=0$

Aldehu
sumber