Pengujian hipotesis pada matriks kovarians terbalik

Misalkan saya amati iid , dan keinginan untuk menguji vech untuk Selaras matriks dan vektor . Apakah ada pekerjaan yang diketahui untuk masalah ini? $x_i \sim \mathcal{N}\left(\mu,\Sigma\right)$ $H_0: A\$ $\left(\Sigma^{-1}\right) = a$ $A$ $a$

Upaya yang jelas (bagi saya) akan melalui uji rasio kemungkinan, tetapi sepertinya memaksimalkan kemungkinan tunduk pada kendala akan membutuhkan pemecah SDP dan bisa sangat berbulu. $H_0$

hypothesis-testing normal-distribution multivariate-analysis maximum-likelihood covariance shabbychef
sumber

Apakah Anda memiliki kendala tambahan pada

? Jika

tidak dapat dibalik, maka

. Masalah kemudian sebesar masalah terkenal: bahwa dari pengujian apakah

. Di sini

(ingat bahwa

A

$A$

A

$A$

H_{0} = v e c h (Σ^{- 1}) = A^{- 1} a

$H_0=\rm{vech}(\Sigma^{-1})=A^{-1}a$

Σ^{- 1} = B

$\Sigma^{-1}=B$

v e c h (B) = A^{- 1} a

$\rm{vech}(B)=A^{-1}a$

v e c h (B)

$\rm{vech}(B)$ menentukan

secara unik).

B

$B$

MånsT

@ MånsT; sayangnya saya tertarik pada kasus umum. Biasanya

akan memiliki sekitar 10 baris dan 400 kolom atau lebih.

A

$A$

shabbychef

Satu hal yang saya pikirkan tentang masalah ini adalah tentang kelayakan. Jelas mudah untuk menemukan pasangan

sedemikian rupa sehingga tidak ada matriks semidefinit positif yang dapat memenuhi kendala. Berpotensi lebih merepotkan untuk uji rasio kemungkinan adalah tampaknya akan ada contoh di mana bahkan ketika hipotesis nol itu benar, dengan probabilitas tinggi seseorang mendapatkan contoh masalah yang tidak layak. Mungkin bagian terakhir itu salah. (+1) Anda cenderung menanyakan masalah yang menarik dan menantang. Saya senang membaca dan berpikir sedikit tentang mereka.

(A, a)

$(A,a)$

kardinal

Σ^{- 1}

$\Sigma^{-1}$

A

$A$

Jawaban:

Beran dan Srivastava (1985, Annals of Statistics) memiliki makalah di mana mereka mengusulkan pendekatan bootstrap umum untuk menerapkan rotasi ke matriks kovarians yang membuatnya cocok dengan distribusi di bawah nol. Poin @ kardinal tentang keberadaan matriks seperti itu sangat relevan di sini. Anda harus dapat membuat setidaknya semacam pendekatan untuk matriks yang memenuhi kendala yang Anda buat di bawah nol.

Chen, Variyath dan Bovas memiliki makalah tentang kemungkinan empiris yang disesuaikan di mana mereka menunjukkan bagaimana hal itu dapat digunakan untuk menguji struktur yang agak aneh pada matriks kovarians. Saya pikir makalah ini akhirnya keluar di CJS.

Tugas
sumber

Saya tidak yakin saya dapat dengan mudah menerjemahkan ini menjadi solusi untuk masalah saya, tetapi keduanya berbunyi menarik. +1.

shabbychef