Apa itu bermacam-macam?

29

Dalam teknik reduksi dimensionalitas seperti Principal Component Analysis, LDA dll sering istilah manifold digunakan. Apa yang banyak ragam dalam istilah non-teknis? Jika suatu titik milik bola yang dimensi yang ingin saya kurangi, dan jika ada suara dan dan tidak berkorelasi, maka titik sebenarnya akan jauh terpisah satu sama lain karena kebisingan. Oleh karena itu, penyaringan kebisingan akan diperlukan. Jadi, pengurangan dimensi akan dilakukan pada . Oleh karena itu, di sini apakah dan milik manifold berbeda?y x y xxyxyxz=x+yxy

Saya sedang mengerjakan data cloud titik yang sering digunakan dalam penglihatan robot; awan titik berisik karena kebisingan dalam akuisisi dan saya perlu mengurangi kebisingan sebelum pengurangan dimensi. Kalau tidak, saya akan mendapatkan pengurangan dimensi yang salah. Jadi, apakah manifold di sini dan apakah noise merupakan bagian dari manifold yang sama dengan yang dimiliki ?x

Ria George
sumber
5
Ini tidak benar-benar mungkin untuk menggunakan istilah dengan benar tanpa tepat secara matematis
Chill2Macht

Jawaban:

45

Dalam istilah non teknis, manifold adalah struktur geometri kontinu yang memiliki dimensi terbatas: garis, kurva, bidang, permukaan, bola, bola, silinder, torus, "gumpalan" ... sesuatu seperti ini : masukkan deskripsi gambar di sini

Ini adalah istilah umum yang digunakan oleh matematikawan untuk mengatakan "kurva" (dimensi 1) atau "permukaan" (dimensi 2), atau objek 3D (dimensi 3) ... untuk kemungkinan dimensi hingga . Manifold satu dimensi hanyalah sebuah kurva (garis, lingkaran ...). Manifold dua dimensi hanyalah sebuah permukaan (bidang, bola, torus, silinder ...). Manifold tiga dimensi adalah "objek penuh" (bola, kubus penuh, ruang 3D di sekitar kita ...).n

Manifold sering digambarkan dengan persamaan: himpunan titik seperti adalah manifold satu dimensi (lingkaran).x 2 + y 2 = 1(x,y)x2+y2=1

Manifold memiliki dimensi yang sama di mana-mana. Misalnya, jika Anda menambahkan garis (dimensi 1) ke bola (dimensi 2) maka struktur geometris yang dihasilkan bukan bermacam-macam.

Berbeda dengan gagasan yang lebih umum tentang ruang metrik atau ruang topologi yang juga dimaksudkan untuk menggambarkan intuisi alami kita tentang serangkaian titik kontinu, manifold dimaksudkan untuk menjadi sesuatu yang sederhana secara lokal: seperti ruang vektor dimensi terbatas: . Ini mengesampingkan ruang abstrak (seperti ruang dimensi tak terbatas) yang sering gagal memiliki makna konkrit geometris.Rn

Tidak seperti ruang vektor, manifold dapat memiliki berbagai bentuk. Beberapa manifold dapat dengan mudah divisualisasikan (bola, bola ...), beberapa sulit divisualisasikan, seperti botol Klein atau bidang proyektif yang sebenarnya .

Dalam statistik, pembelajaran mesin, atau matematika terapan secara umum, kata "berjenis" sering digunakan untuk mengatakan "seperti ruang bagian linear" tetapi mungkin melengkung. Setiap kali Anda menulis persamaan linear seperti: Anda mendapatkan subruang linier (affine) (di sini pesawat). Biasanya, ketika persamaannya tidak linier seperti , ini adalah manifold (di sini bidang yang diregangkan).x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 73x+2y4z=1x2+2y2+3z2=7

Sebagai contoh " hipotesis berjenis " dari ML mengatakan "data dimensi tinggi adalah titik dalam manifold dimensi rendah dengan noise dimensi tinggi ditambahkan". Anda dapat membayangkan titik-titik lingkaran 1D dengan beberapa noise 2D ditambahkan. Sementara poin tidak tepat pada lingkaran, mereka memenuhi secara statistik persamaan . Lingkaran adalah bermacam-macam yang mendasarinya: x2+y2=1https://i.stack.imgur.com/iEm2m.png

Benoit Sanchez
sumber
4
@RiaGeorge Dalam gambar itu adalah permukaan yang bermacam-macam. Ini berkelanjutan karena Anda dapat bergerak dengan bebas tanpa gangguan dan tidak perlu melompat dari permukaan untuk mencapai dua tempat. Lubang-lubang yang Anda singgung penting dalam menggambarkan bagaimana Anda dapat bergerak di permukaan antara dua titik dengan cara paling sederhana, dan menghitungnya adalah teknik penting dalam mempelajari manifold.
Matthew Drury
4
Menjelaskan apa topologi itu akan menjadi pertanyaan yang terlalu luas untuk situs ini, dan sedikit dari topik. Saya akan mencari pertukaran stack matematika untuk informasi tentang itu. Manifol dan topologi bukan sinonim: manifol adalah objek matematika yang dipelajari dengan teknik topologi, topologi adalah sub-subjek matematika.
Matthew Drury
1
Jawabannya meleset dari semua poin mendasar yang membuat bermacam-macam seperti itu, saya tidak mengerti bagaimana ini memiliki begitu banyak upvotes. Topologi, bagan, dan kehalusan bahkan tidak disebutkan dan jawabannya pada dasarnya memberi kesan bahwa manifold adalah permukaan, padahal sebenarnya tidak .
gented
2
Poin teknis, set solusi sistem persamaan tidak perlu berlipat ganda. Beragam, jadi kebanyakan berjenis, tetapi bisa memiliki titik persimpangan di mana properti berjenis gagal.
Matt Samuel
1
Definisi berjenis Anda mencakup persyaratan untuk memiliki dimensi yang terbatas . Tetapi Anda memasukkan contoh yang tidak memenuhi persyaratan itu — seperti garis, bidang, kurva dan permukaan. Bisakah Anda menjelaskan apa yang Anda maksud?
Mowzer
13

M

Rnn

nci:MRc:MRn

RNNn

Perhatikan bahwa untuk membuat "struktur" tepat di sini, kita perlu memahami pengertian dasar topologi ( def. ), Yang memungkinkan seseorang untuk membuat gagasan yang tepat tentang perilaku "lokal" , dan dengan demikian "secara lokal" di atas. Ketika saya mengatakan "ekuivalen", yang saya maksud adalah struktur topologi yang ekuivalen ( homeomorfik ), dan ketika saya mengatakan "pelestarian struktur" yang saya maksud adalah hal yang sama (menciptakan struktur topologi yang setara).

Perhatikan juga bahwa untuk melakukan kalkulus pada manifold , seseorang membutuhkan kondisi tambahan yang tidak mengikuti dari dua kondisi di atas, yang pada dasarnya mengatakan sesuatu seperti "grafik cukup baik untuk memungkinkan kita melakukan kalkulus". Ini adalah manifold yang paling sering digunakan dalam praktik. Tidak seperti manifold topologi umum , selain kalkulus mereka juga memungkinkan triangulasi , yang sangat penting dalam aplikasi seperti milik Anda yang melibatkan data titik awan .

Perhatikan bahwa tidak semua orang menggunakan definisi yang sama untuk bermacam-macam (topologi). Beberapa penulis akan mendefinisikannya sebagai satu-satunya syarat yang memuaskan (1) di atas, tidak harus juga (2). Namun, definisi yang memenuhi keduanya (1) dan (2) jauh lebih baik berperilaku, oleh karena itu lebih bermanfaat bagi para praktisi. Seseorang mungkin berharap secara intuitif bahwa (1) menyiratkan (2), tetapi sebenarnya tidak.

Rn

Chill2Macht
sumber
Terima kasih atas jawaban Anda: Bisakah Anda jelaskan apa topologi dalam istilah non-teknis juga? Apakah istilah topologi dan bermacam-macam digunakan secara bergantian? Apakah dimensi harus berupa bilangan bulat? Apa itu bilangan real, maka saya pikir struktur ini dikenal sebagai fraktal jika seluruh struktur terdiri dari masing-masing sub bagian berulang-ulang.
Ria George
1
n1N
@RiaGeorge Aksioma untuk "topologi" dapat ditemukan di halaman Wikipedia: en.wikipedia.org/wiki/General_topology#A_topology_on_a_set - perhatikan juga bahwa tautan yang saya berikan untuk definisi (setara) "topologi" dalam istilah lingkungan menunjuk ke sesuatu yang terkait tetapi tidak sama, saya telah mengedit jawaban saya untuk mencerminkan ini: en.wikipedia.org/wiki/... Namun perlu dicatat bahwa definisi dalam hal lingkungan lebih sulit untuk dipahami (saya kira saya bisa memahaminya baik, tapi saya tidak repot-repot juga, karena saya malas
Chill2Macht
jadi bagaimanapun itu adalah pendapat bias pribadi saya bahwa Anda tidak perlu mengetahui definisi topologi lingkungan - ketahuilah bahwa definisi yang lebih sederhana memberi Anda semua kekuatan yang sama dari definisi lingkungan dalam hal menggambarkan perilaku lokal dengan ketat, karena mereka adalah setara). Bagaimanapun, jika Anda tertarik pada fraktal, mungkin Anda akan menemukan halaman-halaman Wikipedia ini menarik - saya tidak dapat membantu Anda dengan hal itu lebih lanjut, karena saya tidak terlalu akrab dengan teori dan tidak tahu atau mengerti sebagian besar dari definisi - Saya hanya mendengar beberapa
Chill2Macht
1
Ini adalah satu-satunya jawaban sejauh ini yang memperhatikan ide matematika modern untuk mengumpulkan objek global dari data lokal. Sayangnya, itu tidak cukup untuk mencapai tingkat kesederhanaan dan kejelasan yang diperlukan dari akun "non-teknis".
whuber
10

Dalam konteks ini, istilah manifold akurat, tetapi tidak perlu terlalu tinggi. Secara teknis, manifold adalah setiap ruang (set poin dengan topologi) yang cukup halus dan kontinu (dengan cara yang dapat, dengan beberapa upaya, dibuat secara matematis didefinisikan dengan baik).

Bayangkan ruang semua nilai yang mungkin dari faktor asli Anda. Setelah teknik reduksi dimensi, tidak semua titik di ruang itu dapat dicapai. Sebagai gantinya, hanya menunjuk pada beberapa sub-ruang tertanam di dalam dalam ruang itu yang akan dapat dicapai. Sub-ruang yang tertanam terjadi untuk memenuhi definisi matematika dari bermacam-macam. Untuk teknik reduksi dimensi linier seperti PCA, sub-ruang itu hanyalah sub-ruang linier (misalnya bidang-hiper), yang merupakan manifold yang relatif sepele. Tetapi untuk teknik reduksi dimensi non-linear, sub-ruang itu bisa lebih rumit (misalnya permukaan-melengkung). Untuk keperluan analisis data, memahami bahwa ini adalah sub-ruang jauh lebih penting daripada kesimpulan yang Anda dapat dari mengetahui bahwa mereka memenuhi definisi bermacam-macam.

David Wright
sumber
4
"Highfalutin" ... mempelajari kata baru hari ini!
Mehrdad
5
Secara matematis, bermacam-macam adalah ruang topologi yang berkelanjutan secara lokal. Saya suka ide mencoba menjelaskan hal-hal dalam bahasa sederhana, tetapi karakterisasi ini benar-benar tidak berhasil. Pertama, kontinuitas selalu menjadi properti lokal, jadi saya tidak yakin apa yang Anda maksud dengan berkelanjutan secara lokal. Juga, definisi Anda gagal mengesampingkan banyak hal yang tidak berlipat ganda, seperti garis bilangan rasional, atau penyatuan dua garis berpotongan di bidang Euclidean.
Ben Crowell
4
Saya setuju dengan Ben, secara teknis "euclidean lokal". Saya tidak yakin ada cara yang baik untuk mengubahnya menjadi bahasa Inggris sederhana.
Matthew Drury
1
Saya juga harus sangat setuju dengan dua komentar di atas. Sebenarnya, jawaban yang saya tulis di bawah ini awalnya dimaksudkan sebagai komentar klarifikasi untuk jawaban ini yang terlalu panjang. Tidak ada gagasan yang tepat tentang ruang topologis "kontinu" (lihat di sini: math.stackexchange.com/questions/1822769/… ). Mendefinisikan manifold dalam hal konsep yang tidak ada, menurut pendapat saya, dalam jangka panjang lebih cenderung membingungkan daripada mengklarifikasi. Paling tidak, saya akan menyarankan mengganti kata "secara matematis" dalam kalimat pertama dengan sesuatu yang lain.
Chill2Macht
Saya akan menggunakan komentar ini sebagai kesempatan untuk mengajukan sedikit pertanyaan ... Saya (berpikir) saya mendapat ide manifold, tapi mengapa itu "lokal" diperlukan? Bukankah ruang "lokal" terus menerus ... berkelanjutan sebagai keseluruhan?
Paul92