Matriks informasi Fisher yang diharapkan untuk distribusi-t Student?

8

Saya mengalami kesulitan menemukan sumber daya online yang mendapatkan Matriks Informasi Fisher yang diharapkan untuk distribusi-t Student yang unik. Apakah ada yang tahu sumber daya seperti itu?

Dengan tidak adanya sumber daya yang ada yang mendapatkan matriks informasi Fisher yang diharapkan untuk distribusi-t, saya mencoba untuk mendapatkannya sendiri tetapi saya mandek. Inilah pekerjaan saya sejauh ini:

yit(μ,σ2,v) di mana adalah derajat kebebasan (df) parameter (diasumsikan tetap). Kemudian: v

f(yi)=Γ(v+12)Γ(v2)πvσ2(1+1vσ2(yiμ)2)(v+1)2

Dengan demikian kita memiliki fungsi log-likelihood berikut :

lHaigf(ysaya)=lHaigΓ(v+12)-lHaigΓ(v2)-12lHaig(πvσ2)+-(v+1)2lHaig[1+1vσ2(ysaya-μ)2]

Di sini persamaan turunan pertama :

μlHaigf(ysaya)=v+122vσ2(ysaya-μ)1+1vσ2(ysaya-μ)2σ2lHaigf(ysaya)=-12σ2-(v+1)2-1vσ4(ysaya-μ)21+1vσ2(ysaya-μ)2

Dan inilah persamaan turunan ke - 2:

μ2logf(yi)=v+122vσ2+2dv2σ4(yiμ)2(1+1vσ2(yiμ)2)2μσ2logf(yi)=v+12{[2vσ24v2σ6(yiμ)2][1+1vσ2(yiμ)2]2[2vσ2+2v2σ4(yiμ)2]2[1+1vσ2(yiμ)2][1vσ4(yiμ)2]}/{[1+1vσ2(yiμ)2]4}.....really messy!(σ2)2logf(yi)=12σ4(v+1)21vσ6(yiμ)2[1+1vσ2(yiμ)2]2

Akhirnya, matriks informasi nelayan yang diharapkan dihitung sebagai berikut:

I=E([2μ2logf(yi)μσ2logf(yi)μσ2logf(yi)2(σ2)2logf(yi)])

Namun, saya tidak tahu bagaimana menghitung harapan ini. Adakah yang mengetahui sumber daya yang telah melakukan ini? Jujur, satu-satunya jumlah yang saya tertarik adalah: , akankah seseorang setidaknya dapat membantu saya menghitung ini?E[2(σ2)2logf(yi)]

bayes003
sumber

Jawaban:

3

Saya mendapat perhatian bahwa Lange et al 1989 memperoleh informasi Fisher yang diharapkan untuk distribusi t multivariat di Lampiran B. Oleh karena itu, saya mendapatkan jawaban yang saya inginkan, Anda dapat menganggap pertanyaan ini sebagai jawaban!

Secara khusus, dengan menggunakan hasil Lange et al, saya memperoleh Matriks Informasi Fisher berikut untuk distribusi t univariat (dengan parameter kebebasan derajat tetap ):v

I=[v+1(v+3)σ200v2(v+3)σ4]
bayes003
sumber
1
Adakah referensi di mana Matriks Informasi Fisher telah diturunkan untuk variabel derajat kebebasan parameter, yaitu Matriks Informasi Fisher 3 Dimensi di mana skala, lokasi, dan derajat kebebasan semuanya disediakan?
uday
1
Saya punya pertanyaan yang sama. Apakah kita memiliki matriks Fisher 3x3 yang menyertakan parameter nu?
Riemann1337
Hasil di atas dikonfirmasi benar dengan FisherInformationfungsi dimathStatica
serigala
1

Itu tidak sulit (tapi agak membosankan) dengan menggunakan rumus Pertama, amati bahwa dengan perubahan variabel dalam setiap integral yang terlibat, orang dapat mengambil dalam perhitungan.

saya(μ,σ2)=E[((μcatatanf(Y))2(μcatatanf(Y))(σcatatanf(Y))(μcatatanf(Y))(σcatatanf(Y))(σ2catatanf(Y))2)].
yy-μμ=0

Perhitungan bergantung pada integral berikut: Kesetaraan ini diperoleh dengan mengubah variabel dan dengan bantuan kepadatan distribusi Beta prime .

saya(λ,Sebuah,b): =0y2Sebuah-1(1+1λy2)-2Sebuah+b2dy=λSebuah2B(Sebuah,b2).
yy2

Perhatikan bahwa integand adalah fungsi genap ketika adalah bilangan bulat genap, maka 2Sebuah-1

J(λ,Sebuah,b): =-+y2Sebuah-1(1+1λy2)-hal+1+b2dy=2saya(λ,Sebuah,b)=λSebuahB(Sebuah,b2).

Saya hanya akan merinci perhitungan pertama. Set konstanta normalisasi kerapatan.

K(ν,σ)=1B(12,ν2)1νσ2,

Seseorang telah Sejak , kita menemukan Perhitungan kedua mudah:

E[(μcatatanf(Y))2]=K(ν,σ)(ν+1νσ2)2J(νσ2,32,ν+2).
B(12,ν2)B(32,ν+22)=B(12,ν2)B(32,ν2)B(32,ν2)B(32,ν+22)=(ν+1)1(ν+3)ν
E[(μcatatanf(Y))2]=νν+3(ν+1)(νσ2)-1/2-2+3/2=ν+1(ν+3)σ2.
E[(μcatatanf(Y))(σcatatanf(Y))]=0
karena hanya melibatkan integral fungsi aneh.

Akhirnya perhitungan semakin membosankan dan Saya melewatkannya. Perhitungannya melibatkan integral dengan bilangan bulat , yang nilainya diberikan di atas.

E[(σ2catatanf(Y))2]
J(νσ2,Sebuah,b)2Sebuah-1

Saya telah melakukan perhitungan dan saya telah menemukan dan ini menyederhanakan menjadi

(ν+1)24(νσ4)2K(ν,σ2)J(νσ2,52,ν)-ν+12νσ6K(ν,σ2)J(νσ2,32,ν)+14σ4
ν2(ν+3)σ4.
Stéphane Laurent
sumber