Saya mengalami kesulitan menemukan sumber daya online yang mendapatkan Matriks Informasi Fisher yang diharapkan untuk distribusi-t Student yang unik. Apakah ada yang tahu sumber daya seperti itu?
Dengan tidak adanya sumber daya yang ada yang mendapatkan matriks informasi Fisher yang diharapkan untuk distribusi-t, saya mencoba untuk mendapatkannya sendiri tetapi saya mandek. Inilah pekerjaan saya sejauh ini:
yi∼t(μ,σ2,v) di mana adalah derajat kebebasan (df) parameter (diasumsikan tetap). Kemudian:
v
f(yi)=Γ(v+12)Γ(v2)πvσ2−−−−√(1+1vσ2(yi−μ)2)−(v+1)2
Dengan demikian kita memiliki fungsi log-likelihood berikut :
l o gf(ysaya) = L o gΓ (v + 12) - l o gΓ (v2) -12l o g( πvσ2) +- ( v + 1 )2l o g[ 1+1vσ2(ysaya- μ)2]
Di sini persamaan turunan pertama :
∂∂μl o gf(ysaya) =v + 122vσ2(ysaya- μ )1 +1vσ2(ysaya- μ)2∂∂σ2l o gf(ysaya) =- 12σ2-( v + 1 )2- 1vσ4(ysaya- μ)21 +1vσ2(ysaya- μ)2
Dan inilah persamaan turunan ke - 2:
∂∂μ2l o gf(ysaya) =v + 12- 2vσ2+2dv2σ4(ysaya- μ)2( 1+1vσ2(ysaya- μ)2)2∂∂μ ∂σ2l o gf(ysaya) =v + 12{ [2vσ2-4v2σ6(ysaya- μ)2] [ 1 +1vσ2(ysaya- μ)2]2- [- 2vσ2+2v2σ4(ysaya- μ)2] ∗ 2 [ 1 +1vσ2(ysaya- μ)2] [- 1vσ4(ysaya- μ)2] }/{[1+1vσ2(yi−μ)2]4}.....really messy!∂∂(σ2)2logf(yi)=12σ4−(v+1)21vσ6(yi−μ)2[1+1vσ2(yi−μ)2]2
Akhirnya, matriks informasi nelayan yang diharapkan dihitung sebagai berikut:
I=−E(⎡⎣⎢∂2∂μ2logf(yi)∂∂μ∂σ2logf(yi)∂∂μ∂σ2logf(yi)∂2∂(σ2)2logf(yi)⎤⎦⎥)
Namun, saya tidak tahu bagaimana menghitung harapan ini. Adakah yang mengetahui sumber daya yang telah melakukan ini? Jujur, satu-satunya jumlah yang saya tertarik adalah: , akankah seseorang setidaknya dapat membantu saya menghitung ini?−E[∂2∂(σ2)2logf(yi)]
FisherInformation
fungsi dimathStatica
Itu tidak sulit (tapi agak membosankan) dengan menggunakan rumus Pertama, amati bahwa dengan perubahan variabel dalam setiap integral yang terlibat, orang dapat mengambil dalam perhitungan.
Perhitungan bergantung pada integral berikut: Kesetaraan ini diperoleh dengan mengubah variabel dan dengan bantuan kepadatan distribusi Beta prime .
Perhatikan bahwa integand adalah fungsi genap ketika adalah bilangan bulat genap, maka2 a - 1
Saya hanya akan merinci perhitungan pertama. Set konstanta normalisasi kerapatan.
Seseorang telah Sejak , kita menemukan Perhitungan kedua mudah:
Akhirnya perhitungan semakin membosankan dan Saya melewatkannya. Perhitungannya melibatkan integral dengan bilangan bulat , yang nilainya diberikan di atas.
Saya telah melakukan perhitungan dan saya telah menemukan dan ini menyederhanakan menjadi
sumber