Rerata geometrik adalah pengestimasi tidak bias dari rerata distribusi berkelanjutan mana?

Adakah distribusi kontinu yang dapat diekspresikan dalam bentuk tertutup, yang rerata sedemikian rupa sehingga rerata geometris sampel merupakan penaksir yang tidak bias untuk rerata itu?

Pembaruan: Saya baru menyadari bahwa sampel saya harus positif (atau rata-rata geometris mungkin tidak ada) jadi mungkin terus menerus bukan kata yang tepat. Bagaimana dengan distribusi yang nol untuk nilai negatif dari variabel acak dan kontinu untuk nilai positif. Sesuatu seperti distribusi terpotong.

Saya percaya Anda bertanya apa, jika ada, distribusi rv , sehingga, jika kita memiliki sampel iid ukuran n > 1 dari distribusi itu, itu akan berpendapat bahwa$X$$n>1$

$$E[GM] = E\left[\left(\prod_{i=1}^n X_{i}\right)^{1/n}\right] = E(X)$$

Karena asumsi iid , kami punya

$$E\left[\left(\prod_{i=1}^n X_{i}\right)^{1/n}\right] = E\left(X_1^{1/n}\cdot ...\cdot X_n^{1/n}\right) = E\left (X_1^{1/n}\right)\cdot ...\cdot E\left(X_n^{1/n}\right) = \left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n$$

jadi kami bertanya apakah kami bisa

$$\left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n = E(X)$$

Tetapi oleh ketidaksetaraan Jensen, dan fakta bahwa fungsi kekuasaan secara ketat cembung untuk kekuatan yang lebih tinggi dari kesatuan, kita memiliki itu, hampir pasti untuk variabel acak yang tidak merosot (tidak konstan),

$$\left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n < E\left[\left(X^{1/n}\right)\right]^n = E(X)$$

Jadi tidak ada distribusi seperti itu.

$GM$

$$E(X^s) = \exp\left\{s\mu + \frac {s^2\sigma^2}{2}\right \}$$

$\mu$$\sigma$

$s = 1/n$

$$E(GM) = \left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n = \left[\exp\left\{(\mu/n) + \frac {\sigma^2}{2n^2}\right \}\right]^n = \exp\left\{\mu + \frac {\sigma^2}{2n}\right \}$$

(yang memberitahu kita bahwa itu adalah penaksir yang bias dari median). Tapi

$$\lim \left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n = \lim \exp\left\{\mu + \frac {\sigma^2}{2n}\right \} = e^{\mu}$$

yang merupakan median dari distribusi. Satu juga dapat menunjukkan bahwa varians dari rata-rata geometris dari sampel konvergen ke nol, dan kedua kondisi ini cukup untuk penaksir ini konsisten secara asimptotik - untuk median,

$$GM \to_p e^{\mu}$$

Ini adalah argumen yang mirip dengan jawaban Alecos yang sangat baik karena rata-rata aritmatika, ketidaksetaraan rata-rata geometris adalah konsekuensi dari ketidaksetaraan Jensen.

• $A_n$$A_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$

• $G_n$$G_n = \left( \prod_{i=1} X_i \right) ^ \frac{1}{n}$

$A_n \geq G_n$$X_1 = X_2 = \ldots = X_n$

$X_1 = X_2 = \ldots = X_n$

$\operatorname{E}[G_n] = \operatorname{E}[A_n] = \operatorname{E}[X]$

Dalam beberapa hal, ini adalah kasus yang sepenuhnya merosot.

$P(X_i \neq X_j) > 0$$i\neq j$

$G_n \leq A_n$$\operatorname{E}[A_n] = \operatorname{E}[X]$$\operatorname{E}[G_n] < \operatorname{E}[X]$