Jika

13

Saya menemukan bukti untuk salah satu sifat dari model ARCH yang mengatakan bahwa jika E(Xt2)< , maka {Xt} adalah stasioner iff i=1pbi<1 mana model ARCH adalah:

Xt=σtϵt

σt2=b0+b1Xt12+...bpXtp2

Gagasan utama buktinya adalah untuk menunjukkan bahwa dapat ditulis sebagai proses AR (p) dan jika benar, maka semua akar kebohongan polinomial karakteristik di luar unit lingkaran dan karenanya stasioner. Kemudian dikatakan bahwa karenanya adalah stasioner. Bagaimana ini?Xt2i=1pbi<1{Xt2}{Xt}

Siswa
sumber
2
Secara umum, tidak. Anda bisa membayangkan suatu proses di mana adalah diam, tetapi X t = Xt pada beberapa interval tetapiXt=-Xt=Xt2 pada beberapa interval waktu lainnya. Mungkin dibuat-buat, tetapi kemungkinan matematika. Xt=-Xt2
kjetil b halvorsen

Jawaban:

2

Dari bagian yang diberikan saya mengerti bagaimana Anda mungkin melihat bahwa stasioneritas dari menyiratkan stasioneritas dari X t tetapi sebenarnya hanya menyiratkan varians konstan X t .Xt2Xt Xt

Penulis bukti itu menggunakan stasioneritas untuk menyelesaikan argumen yang telah mereka mulai sebelumnya dengan melihat momen tanpa syarat X tXt2Xt

Ingat kondisi stasiun urutan :2nd

  1. t ZE(Xt)< tZ
  2. t ZVar(Xt)=m tZ
  3. h ZCov(Xt,Xt+h)=γx(h) hZ

Kondisi 1 dibuktikan dengan E(Xt)=E(E(Xt|Ft1))=0

Kondisi 3 dibuktikan dengan E(XtXt1)=E(σtϵtσt1ϵt1)=E(E(σtϵtσt1ϵt1)|Ft1)=E(σtσt1E(ϵt1ϵt)|Ft1))=0

Tapi untuk membuktikan kondisi kedua yang mereka butuhkan untuk membuktikan varians bersyarat konstan Xt

Var(Xt)=Var(Xt1)=Var(Xt2)=...=m

Inilah yang mengarah pada asumsi stasioneritas yang telah Anda sebutkan menggunakan bentuk A R ( p ) . Secara singkat: V a r ( X t ) = E ( V a r ( X t ) | F t - 1 ) + V a r ( E ( X t | F t - 1 ) ) = E ( VXt2AR(p)

Var(Xt)=E(Var(Xt)|Ft1)+Var(E(Xt|Ft1))=E(Var(ut|Ft1))becausethelasttermis0=E(b0+b1Xt12+...bpXtp2)=b0+b1E(Xt12)+...bpE(Xtp2)=b0+b1var(Xt1)+...bpvar(Xtp)
If X^2_t is stationary then the roots of the polynomial would lie out of the unit circle and Σbi<1 This makes it possible to write:
vSebuahr(Xt-1)=...=vSebuahr(Xt-hal)=b01-b1-...-bhalwhsayachsayasSebuahlSebuahscHainstSebuahnt!
machazthegamer
sumber
Dokumen referensi adalah tautan
machazthegamer