Jika

Saya menemukan bukti untuk salah satu sifat dari model ARCH yang mengatakan bahwa jika $\mathbb{E}(X_t^2) < \infty$ , maka $\{X_t\}$ adalah stasioner iff $\sum_{i=1}^pb_i < 1$ mana model ARCH adalah:

$X_t = \sigma_t\epsilon_t$

$\sigma_t^2 = b_0 + b_1X_{t-1}^2 + ... b_pX_{t-p}^2$

Gagasan utama buktinya adalah untuk menunjukkan bahwa dapat ditulis sebagai proses AR (p) dan jika benar, maka semua akar kebohongan polinomial karakteristik di luar unit lingkaran dan karenanya stasioner. Kemudian dikatakan bahwa karenanya adalah stasioner. Bagaimana ini?$X_t^2$$\sum_{i=1}^pb_i < 1$$\{X_t^2\}$$\{X_t\}$

Dari bagian yang diberikan saya mengerti bagaimana Anda mungkin melihat bahwa stasioneritas dari menyiratkan stasioneritas dari X t tetapi sebenarnya hanya menyiratkan varians konstan X t .$X^2_t$$X_t$ $X_t$

Penulis bukti itu menggunakan stasioneritas untuk menyelesaikan argumen yang telah mereka mulai sebelumnya dengan melihat momen tanpa syarat X $X^2_t$$X_t$

Ingat kondisi stasiun urutan :$2^{nd}$

1. ∀ t ∈ $E(X_t)<\infty$ $\forall_{t\in Z}$
2. ∀ t ∈ $Var(X_t) = m$ $\forall_{t\in Z}$
3. ∀ h ∈ $Cov(X_t,X_{t+h})= \gamma_x(h)$ $\forall_{h\in Z}$

Kondisi 1 dibuktikan dengan $E(X_t)=E(E(X_t|F_{t-1}))=0$

Kondisi 3 dibuktikan dengan $E(X_tX_{t-1})=E(\sigma_t\epsilon_t\sigma_{t-1}\epsilon_{t-1})=E(E(\sigma_t\epsilon_t\sigma_{t-1}\epsilon_{t-1})|F_{t-1})=E(\sigma_{t}\sigma_{t-1}E(\epsilon_{t-1}\epsilon_{t})|F_{t-1}))=0$

Tapi untuk membuktikan kondisi kedua yang mereka butuhkan untuk membuktikan varians bersyarat konstan $X_t$

$Var(X_{t})=Var(X_{t-1})=Var(X_{t-2})=...=m$

Inilah yang mengarah pada asumsi stasioneritas yang telah Anda sebutkan menggunakan bentuk A R ( p ) . Secara singkat: V a r ( X t ) = E ( V a r ( X t ) | F t - 1 ) + V a r ( E ( X t | F t - 1 ) ) = E ( $X^2_{t}$$AR(p)$

$$\begin{align*} Var(X_{t})=&E(Var(X_{t})|F_{t-1}) + Var(E(X_t|F_{t-1}))\\ =&E(Var(u_t|F_{t-1}))\quad because\: the\: last\: term\: is\: 0\\ =&E(b_0 + b_1X_{t-1}^2 + ... b_pX_{t-p}^2)\\ =& b_0 + b_1E(X_{t-1}^2) + ... b_pE(X_{t-p}^2)\\ =&b_0 + b_1var(X_{t-1}) + ... b_pvar(X_{t-p}) \end{align*}$$ If X^2_t is stationary then the roots of the polynomial would lie out of the unit circle and $\Sigma b_i<1$ This makes it possible to write: $$var(X_{t-1})=... = var(X_{t-p})= \frac{b_0}{1-b_1-...-b_p} \quad which\quad is \quad alas\quad constant!$$