Ini artikel di atas liga saya tapi itu berbicara tentang topik yang saya tertarik, hubungan antara rata-rata, modus dan median. Ia mengatakan :
Dipercaya secara luas bahwa median distribusi unimodal adalah "biasanya" antara mean dan mode. Namun, ini tidak selalu benar ...
Pertanyaan saya : dapatkah seseorang memberikan contoh distribusi unimodal kontinu (idealnya sederhana) di mana median berada di luar interval [mode, mean]? Misalnya distribusi seperti mode < mean < median
.
=== EDIT =======
Sudah ada jawaban yang baik oleh Glen_b dan Francis, tetapi saya menyadari bahwa apa yang saya benar-benar tertarik adalah contoh di mana mode <mean <median atau median <mean <mode (yang keduanya median berada di luar [mode, berarti] DAN median adalah "di sisi yang sama" sebagai rata-rata mode (yaitu mode di atas atau di bawah)). Saya dapat menerima jawaban di sini terbuka pertanyaan baru atau mungkin seseorang dapat menyarankan solusi di sini secara langsung?
Jawaban:
Tentu, tidak sulit untuk menemukan contoh - bahkan yang unimodal terus menerus - di mana median tidak berada di antara mean dan mode.
Pertimbangkan iid dari distribusi segitiga bentukf T ( t ) = 2 ( 1 - t ) 1 0 < t < 1T1,T2 fT(t)=2(1−t)10<t<1
Sekarang, biarkan menjadi campuran 60-40 dari dan .T 1 - 4 T 2X T1 −4T2
Kerapatan terlihat seperti ini:X
Rerata di bawah 0, mode di 0, tetapi median di atas 0. Modifikasi minor dari ini akan menghasilkan contoh di mana bahkan kepadatan (bukan hanya cdf) kontinu, tetapi hubungan antara ukuran-lokasi adalah sama (edit: lihat 3. di bawah).
Generalisasi, mari kita menempatkan proporsi (dengan ) dari probabilitas total ke dalam segitiga sisi kanan dan proporsi ke dalam segitiga sisi kiri (di tempat 0,6 dan 0,4 kami punya sebelumnya). Selanjutnya, buat faktor penskalaan di bagian kiri daripada (dengan ):p 0<p<1 (1−p) −β −4 β>0
Sekarang dengan asumsi , median akan selalu berada dalam interval yang dicakup oleh segitiga-kanan, sehingga median akan melebihi mode (yang akan selalu tetap pada ). Khususnya, ketika , median akan berada di .p>12 0 p>12 1−1/2p−−√
Mean akan berada di .(p−β(1−p))/3
Jika maka rerata akan berada di bawah mode, dan jika rerata akan berada di atas mode.β>p/(1−p) β<p/(1−p)
Di sisi lain, kita ingin untuk mempertahankan nilai tengah di bawah median.(p−β(1−p))/3<1−1/2p−−√
Pertimbangkan ; ini menempatkan median di atas mode.p=0.7
Maka akan memuaskan sehingga rata-rata berada di atas mode.β=2 β<p/(1−p)
Nilai median sebenarnya adalah sedangkan rerata berada di . Maka untuk dan , kami memiliki mode <rata-rata <median.1−1/1.4−−−√≈0.1548 0.7−2(0.3)3≈0.0333 p=0.7 β=2
(NB Untuk konsistensi dengan notasi saya, variabel pada sumbu x untuk kedua plot harus daripada tetapi saya tidak akan kembali dan memperbaikinya.)x t
Ini adalah contoh di mana kerapatan itu sendiri kontinu. Hal ini didasarkan pada pendekatan di 1. dan 2. di atas, tetapi dengan "lompatan" diganti dengan kemiringan yang curam (dan kemudian seluruh kepadatan membalik sekitar 0 karena saya ingin contoh yang terlihat miring kanan).
[Menggunakan pendekatan "campuran kepadatan segitiga", ini dapat dihasilkan sebagai campuran dari 3 varian skala independen dari bentuk segitiga yang dijelaskan dalam bagian 1. Kami sekarang memiliki 15% , 60% dan 25% .]T1 −3T2 5T3
Seperti yang kita lihat pada diagram di atas, nilai tengahnya di tengah, seperti yang diminta.
Perhatikan bahwa m_t_ menyebutkan Weibull dalam komentar (yang mediannya berada di luar interval untuk rentang kecil parameter bentuk ). Ini berpotensi memuaskan karena merupakan distribusi unimodal kontinu (dan mulus) yang terkenal dengan bentuk fungsional yang sederhana.[mode,mean] k
Khususnya, untuk nilai kecil dari parameter bentuk Weibull, distribusinya condong ke kanan, dan kami memiliki situasi median yang biasa antara mode dan rata-rata, sedangkan untuk nilai besar dari parameter bentuk Weibull, distribusinya condong ke kiri. , dan kami kembali memiliki situasi "median di tengah" (tapi sekarang dengan mode di kanan daripada rata-rata). Di antara kasus-kasus itu adalah wilayah kecil di mana median berada di luar interval mode-rata, dan di tengah-tengah itu berarti dan mode menyeberang:
Memilih nilai yang nyaman untuk parameter bentuk dalam interval yang ditandai (1) dan (2) di atas - yang mana kesenjangan antara statistik lokasi hampir sama - kita dapatkan:
Walaupun ini memenuhi persyaratan, sayangnya tiga parameter lokasi sangat berdekatan sehingga kita tidak dapat membedakannya secara visual (semuanya jatuh dalam piksel yang sama), yang sedikit mengecewakan - kasus-kasus untuk contoh saya sebelumnya jauh lebih terpisah. (Namun demikian ia menyarankan situasi untuk memeriksa dengan distribusi lain, beberapa di antaranya mungkin memberikan hasil yang lebih berbeda secara visual.)
sumber
Contoh berikut diambil dari Counterexamples dalam Probabilitas dari Jordan Stoyanov .
Diberikan konstanta positif dan , pertimbangkan variabel acak dengan kerapatan Mean , median dan mode dari dapat ditemukan sebagai Catatan adalah kepadatan hanya jika Jadi jika kita membiarkan maka . Akibatnya, jika kita memilih yang dekatc λ X
sumber
Ambil distribusi eksponensial dengan parameter nilai a dan densitas exp (-ax) untuk 0 <= x <tak terhingga. Mode ini nol. Tentu saja mean dan median lebih besar dari 0. Cdf adalah 1-exp (-ax). Jadi untuk median resol for exp (-ax) = 0,5 untuk x. Kemudian -ax = ln (0,5) atau x = -ln (0,5) / a. Untuk mean integrasikan exp exp (-ax) dari 0 hingga tak terbatas. Ambil a = 1 dan kami memiliki median = -ln (0,5) = ln (2) dan mean = 1.
Jadi mode <median <berarti.
sumber