Berapa probabilitas menggambar empat jenis ketika 20 kartu diambil dari setumpuk 52 kartu?

Kemarin teman serumah saya dan saya sedang bermain permainan kartu dan seseorang mengajukan pertanyaan ini. Kami mencoba memecahkan masalah, tetapi kami tidak bisa mengatasinya. Pagi ini aku bangun dan aku masih bertanya-tanya bagaimana menyelesaikannya. Tolong bantu saya.

Ada 13 jenis, sehingga kita dapat memecahkan masalah untuk satu jenis dan kemudian bergerak maju dari sana.

Pertanyaannya kemudian adalah, berapa probabilitas menggambar 4 keberhasilan (seperti raja) dalam 20 sampel dari distribusi yang sama dari 4 keberhasilan (raja) dan 48 kegagalan tanpa penggantian?

The distribusi hipergeometrik (wikipedia) memberi kita jawaban atas pertanyaan ini, dan itu adalah 1,8%.

Jika satu teman bertaruh mendapatkan 4 raja, dan yang lain bertaruh mendapatkan empat ratu, mereka berdua memiliki peluang 1,8% untuk menang. Kita perlu tahu berapa banyak dari kedua taruhan tersebut tumpang tindih untuk mengatakan berapa probabilitas setidaknya satu dari mereka yang menang.

Tumpang tindih keduanya menang mirip dengan pertanyaan pertama, yaitu: berapa probabilitas menggambar 8 keberhasilan (raja dan ratu) dalam 20 sampel dari distribusi 8 keberhasilan (raja dan ratu) dan 44 kegagalan, tanpa penggantian?

Jawabannya lagi hypegeometric, dan menurut perhitungan saya 0,017%.

Jadi probabilitas setidaknya satu dari dua teman yang menang adalah 1,8% + 1,8% - 0,017% = 3,6%

Dalam melanjutkan garis penalaran ini, bagian yang mudah adalah menjumlahkan probabilitas untuk jenis individu (13 * 1,8% = 23,4%), dan bagian yang sulit adalah untuk mencari tahu berapa banyak dari semua 13 skenario ini tumpang tindih.

Peluang mendapatkan 4 raja atau 4 ratu atau 4 ace adalah jumlah mendapatkan masing-masing empat-jenis-dikurangi minus tumpang tindih mereka. Tumpang tindih terdiri dari mendapatkan 4 raja dan 4 ratu (tetapi tidak 4 ace), mendapatkan 4 raja dan 4 ace (tetapi tidak 4 ratu), mendapatkan 4 ratu dan 4 ace (tetapi tidak 4 raja) dan mendapatkan 4 raja dan 4 ratu dan 4 ace.

Di sinilah terlalu berbulu bagi saya untuk melanjutkan, tetapi melanjutkan dengan rumus hypergeometrik di wikipedia, Anda dapat melanjutkan dan menulis semuanya.

Mungkin seseorang dapat membantu kami mengurangi masalah?

Untuk menggambar setidaknya ditentukan empat-of-a-kind, kita harus menggambar semua kartu diperlukan. Ini adalah distribusi hypergeometrik, di mana kita harus menarik semua keberhasilan dari populasi ukuran Ada set empat jenis. Oleh karena itu, kesempatan untuk mendapatkan setidaknya empat-of-a-jenis adalah4 k 4 k $k$$4k$$4k$$52.$$\binom{13}{k}$$k$

$\binom{13}{k} \frac{\binom{4k}{4k}\binom{52-4k}{20-4k}}{\binom{52}{20}} = \binom{52}{20}^{-1} \binom{13}{k} \binom{52-4k}{20-4k} ,$ untuk$0\leq k\leq5.$

Oleh prinsip inklusi-eksklusi, probabilitas menggambar setidaknya satu empat jenis sama dengan

$\binom{52}{20}^{-1} \sum_{k=1}^5 (-1)^{k+1} \binom{13}{k} \binom{52-4k}{20-4k} = -\binom{52}{20}^{-1} \sum_{k=1}^5 (-1)^k \binom{13}{k} \binom{4(13-k)}{4\times 8} .$

Ini dapat dihitung secara numerik menjadi sekitar$0.2197706.$

Jumlah di atas memiliki bentuk jika kita kurangi istilah sesudahnya , karena ketentuan untuk sama dengan nol. Saya ingin tahu apakah ada cara untuk menyederhanakan jumlah tersebut.$\sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k} \binom{r(n-k)}{rm},$$k=0$$5<k\leq 13$