Hukum total expecation / aturan menara: Mengapa kedua variabel acak harus berasal dari ruang probabilitas yang sama?

Saya kutip (penekanan saya) dari definisi wikipedia :

Proposisi dalam teori probabilitas dikenal sebagai hukum ekspektasi total, ..., menyatakan bahwa jika X adalah variabel acak yang dapat diintegrasikan (yaitu, variabel acak yang memenuhi E (| X |) <∞) dan Y adalah variabel acak apa pun, tidak tentu dapat diintegrasikan, pada ruang probabilitas yang sama , maka

$$\operatorname{E}(X) = \operatorname{E} ( \operatorname{E} ( X \mid Y))$$

Saya tidak mengerti apa yang mereka maksud dengan ruang probabilitas yang sama, dan tidak tahu mengapa ini merupakan bagian penting dari definisi tersebut. Ambil contoh lebih jauh di halaman:

Misalkan dua pabrik memasok bola lampu ke pasar. Lampu pabrik X bekerja rata-rata 5000 jam, sedangkan lampu pabrik Y bekerja rata-rata 4000 jam. Diketahui bahwa pabrik X memasok 60% dari total umbi yang tersedia. Berapa lama waktu yang diharapkan untuk bohlam yang dibeli?

Variabel acak di sini tampaknya:

1. Jumlah waktu bola lampu bertahan.
2. Dari pabrik mana bohlam itu berasal.

Bagaimana keduanya memiliki ruang probabilitas yang sama?

Saya tidak mengerti apa yang mereka maksud dengan ruang probabilitas yang sama

Itulah masalahnya.

Cara standar untuk memikirkan objek teori probabilitas (variabel acak, distribusi, dll.) Adalah melalui aksioma Kolmogorov . Aksioma-aksioma ini dibingkai dalam bahasa teori ukuran , tetapi sangat mungkin untuk memahami kasus-kasus sederhana tanpa teori ukuran apa pun.

Pada dasarnya, model probabilitas terdiri dari tiga hal: satu set , yang unsur-unsur individualnya dapat Anda anggap sebagai meringkas "keadaan sebenarnya dunia" (atau setidaknya semua yang perlu Anda ketahui tentang hal itu); koleksi dari himpunan bagian dari (yang elemennya adalah peristiwa yang mungkin yang probabilitas Anda mungkin perlu ukur); dan ukuran probabilitas , yang merupakan fungsi yang mengambil peristiwa dan mengeluarkan angka (yang interpretasinya adalah probabilitas bahwa peristiwa terjadi). Triple dikenal sebagai ruang probabilitas$\Omega$$\mathcal{F}$$\Omega$$P$$E \in \mathcal{F}$$P(E) \in [0, 1]$$E$$(\Omega, \mathcal{F}, P)$ selama memenuhi sifat alami tertentu (misalnya, probabilitas penyatuan banyak peristiwa terpisah adalah jumlah probabilitas mereka).

Dalam kerangka kerja ini, variabel acak adalah fungsi dari ke . Dalam contoh Anda, kami memiliki dua variabel acak: (jumlah waktu bola lampu bertahan) dan (dari pabrik mana bola lampu berasal).$X$$\Omega$$\mathbb{R}$$T$$F$

Bagaimana keduanya memiliki ruang probabilitas yang sama?

Pertanyaannya sekarang berjumlah: bagaimana kita mendefinisikan ruang probabilitas dan fungsi sedemikian rupa untuk memodelkan masalah di bawah pertimbangan. Ada banyak cara, tetapi yang sederhana adalah membiarkan . Elemen menetapkan tertentu (non-random) bola lampu dari pabrik yang akan berlangsung selama waktu . Maka kita akan mendefinisikan dan . Distribusi gabungan dari kemudian didefinisikan dengan menentukan dan .$(\Omega, \mathcal{F}, P)$$T, F : \Omega \to \mathbb{R}$$\Omega = \{ (f, t) : f = 0, 1, t > 0 \}$$(f, t) \in \Omega$$f$$t$$T(f, t) = t$$F(f, t) = f$$(T, F)$$\mathcal{F}$$P$

Saya tidak mengerti ... mengapa ini merupakan bagian penting dari definisi

Ekspektasi bersyarat dari variabel acak diberikan variabel acak lain sendiri didefinisikan sebagai jenis variabel acak yang memenuhi sifat-sifat tertentu. Anda dapat menemukan definisi formal di sini , namun itu mungkin terlihat sangat misterius jika Anda tidak terbiasa dengan probabilitas ukuran-teoretis. Pada dasarnya, definisi ini tidak masuk akal jika dan tidak didefinisikan pada ruang probabilitas yang sama. Pada akhirnya, meskipun, biasanya tidak bermasalah untuk mendefinisikan dua variabel acak pada ruang probabilitas umum, sehingga kondisi ini merupakan teknis.$E[X \mid Y]$$X$$Y$$X$$Y$