Apakah jumlah diskrit dan variabel acak kontinu kontinu atau campuran?

Jika adalah diskrit dan adalah variabel acak kontinu maka apa yang bisa kita katakan tentang distribusi ? Apakah ini kontinu atau dicampur? $X$ $Y$ $X+Y$

Bagaimana dengan produk ? $XY$

self-study distributions random-variable pengguna666
sumber

Jawaban:

Misalkan mengasumsikan nilai-nilai dengan distribusi diskrit , di mana adalah seperangkat dihitung, dan mengasumsikan nilai dalam dengan kepadatan dan CDF . $X$ $k \in K$ $(p_k)_{k \in K}$ $K$ $Y$ $\mathbb R$ $f_Y$ $F_Y$

Mari . Kami memiliki $Z = X + Y$

P (Z \leq z) = P (X + Y \leq z) = \sum_{k \in K} P (Y \leq z - X ∣ X = k) P (X = k) = \sum_{k \in K} F_{Y} (z - k) p_{k},

$\mathbb P( Z \leq z) = \mathbb P(X + Y \leq z) = \sum_{k \in K} \mathbb P(Y \leq z - X \mid X = k) \mathbb P(X = k) = \sum_{k \in K} F_Y(z-k) p_k,$ yang dapat dibedakan untuk mendapatkan fungsi kerapatan untuk

diberikan oleh

Z

$Z$

f_{Z} (z) = \sum_{k \in K} f_{Y} (z - k) p_{k} .

$f_Z(z) = \sum_{k \in K} f_Y(z-k) p_k.$

Sekarang, biarkan dan anggap . Kemudian $R = X Y$ $p_0 = 0$

P (R \leq r) = P (X Y \leq r) = \sum_{k \in K} P (Y \leq r / X) P (X = k) = \sum_{k \in K} F_{Y} (r / k) p_{k},

$\mathbb P(R \leq r) = \mathbb P(X Y \leq r) = \sum_{k \in K} \mathbb P(Y \leq r/X) \mathbb P(X= k) = \sum_{k \in K} F_Y(r/k) p_k,$ yang lagi dapat dibedakan untuk mendapatkan fungsi kepadatan.

Namun jika , maka , yang menunjukkan bahwa dalam hal ini memiliki atom pada 0. $p_0 > 0$ $\mathbb P(X Y = 0) \geq \mathbb P(X = 0) = p_0 > 0$ $XY$

Joris Bierkens
sumber

$X$ $p_X : \mathcal{X} \to [0,1]$ $\mathcal{X}$ $X$

f_{X} (x) = \sum_{x_{k} \in X} p_{X} (x_{k}) δ (x - x_{k})

$f_X (x) = \sum_{x_k \in \mathcal{X}} p_X (x_k) \, \delta (x - x_k)$

$\delta$

$Y$ $Z := X+Y$ $X$ $Y$ $Z$ $X$ $Y$ $Z$ $f_X$ $f_Y$

f_{Z} (z) = \sum_{x_{k} \in X} p_{X} (x_{k}) f_{Y} (z - x_{k})

$f_Z (z) = \sum_{x_k \in \mathcal{X}} p_X (x_k) \, f_Y (z - x_k)$

Rodrigo de Azevedo
sumber

Mengapa downvote?

Rodrigo de Azevedo

Ya, saya juga ingin tahu tentang downvote

Yair Daon

X

$X$

Y

$Y$

@whuber saya setuju dengan (b). Namun, dikatakan bahwa RV diskrit "dapat dianggap sebagai ...", jadi saya pikir itu menambah pandangan yang menarik.

Yair Daon

Inilah sebabnya saya menulis bahwa jawaban Anda menyesatkan. Karena pertanyaannya menyangkut perbedaan antara distribusi diskrit dan kontinu - dan perbedaan itu adalah masalah definisi matematis, bukan "rasa" - usaha Anda untuk membingungkan keduanya cenderung kurang membantu.

whuber

$X$ $Y$

Sunting: Saya berasumsi bahwa "terus menerus" berarti "memiliki pdf." Jika terus menerus dimaksudkan untuk berarti tanpa atom, buktinya mirip; cukup ganti "Lebesgue null set" dengan "singleton set" pada bagian berikutnya.

$X$ $\{x_1,x_2,x_3\dots\}$

$Z$ $P(Z\in E)=0$ $E$

$\square$

$X+Y$ $E$

P (X + Y \in E) = \sum_{k} P ({Y + x_{k} \in E} \cap {X = x_{k}}) \leq \sum_{k} P (Y + x_{k} \in E)

$P(X+Y\in E)=\sum_k P(\{Y+x_k\in E\}\cap \{X=x_k\})\le \sum_k P(Y+x_k\in E)$

Y + x_{k} \in E

$Y+x_k\in E$

Y \in E - x_{k}

$Y\in E-x_k$

E - x_{k}

$E-x_k$

Y

$Y$

P (Y + x_{k} \in E) = 0

$P(Y+x_k\in E)=0$

X + Y

$X+Y$

$P(X=0)=0$ $P(X=0)=1$ $XY$ $P(XY=0)=1$ $XY$

Mike Earnest
sumber