Membuat Bayesian sebelum dari hasil yang sering

Bagaimana seharusnya seseorang mengubah hasil yang sering menjadi Bayesian prior?

Pertimbangkan skenario umum yang cukup umum: Eksperimen dilakukan di masa lalu dan hasilnya pada beberapa parameter diukur. Analisis dilakukan dengan metodologi frequentist. Interval kepercayaan untuk diberikan dalam hasil.$\phi$$\phi$

Saya sekarang sedang melakukan beberapa percobaan baru di mana saya ingin mengukur beberapa parameter lain, misalnya dan . Eksperimen saya berbeda dari penelitian sebelumnya --- tidak dilakukan dengan metodologi yang sama. Saya ingin melakukan analisis Bayesian, jadi saya perlu menempatkan prior pada dan .$\theta$$\phi$$\theta$$\phi$

Tidak ada pengukuran sebelumnya yang telah dilakukan, jadi saya menempatkan yang tidak informatif (katakan seragamnya) sebelumnya. $\theta$

Seperti disebutkan, ada hasil sebelumnya untuk , diberikan sebagai interval kepercayaan. Untuk menggunakan hasil itu dalam analisis saya saat ini, saya perlu menerjemahkan hasil frequentist sebelumnya menjadi informatif sebelum analisis saya. $\phi$

Salah satu opsi yang tidak tersedia dalam skenario ini adalah mengulangi analisis sebelumnya yang mengarah ke pengukuran dengan cara Bayesian. Jika saya bisa melakukan ini, akan memiliki posterior dari percobaan sebelumnya yang kemudian akan saya gunakan sebagai sebelumnya, dan tidak akan ada masalah.$\phi$ $\phi$

Bagaimana saya harus menerjemahkan CI yang sering ke dalam distribusi Bayesian sebelumnya untuk analisis saya? Atau dengan kata lain, bagaimana saya bisa menerjemahkan hasil yang paling sering pada ke posterior di yang kemudian akan saya gunakan sebagai prioritas dalam analisis saya?$\phi$$\phi$

Wawasan atau referensi apa pun yang membahas masalah jenis ini dipersilakan.

Versi singkat: Ambil Gaussian yang berpusat pada perkiraan sebelumnya, dengan std. dev. sama dengan CI.

Versi lama: Let menjadi nilai sebenarnya dari parameter, dan membiarkan φ perkiraan yang Anda miliki. Asumsikan sebuah apriori sebelum seragam P ( φ ) = c t . Anda ingin tahu distribusi φ 0 mengingat bahwa perkiraan φ telah diperoleh:$\phi_0$$\hat \phi$$P(\phi)=ct$$\phi_0$$\hat \phi$

Sekarang satu-satunya ketergantungan padaφ0adalah dalam jangkaP( φ |φ0), sisanya adalah normalisasi konstan. Dengan asumsi φ adalah estimator maksimum likelihood (atau beberapa estimator yang konsisten lainnya), kita dapat menggunakan fakta-fakta berikut:

1. Seiring dengan meningkatnya jumlah pengamatan, MLE secara Gaussian asimptotik,
2. Secara asimptotik tidak bias (berpusat pada nilai sebenarnya ),$\phi_0$
3. Ia berfluktuasi sekitar dengan varian sama dengan Informasi Fisher terbalik dari pengamatan sebelumnya, dan itulah yang akan saya gunakan sebagai CI (kuadrat).$\phi_0$

Cara lain untuk menggambarkannya: Posterior Bayesian dan distribusi estimator yang konsisten dan efisien menjadi sama tanpa gejala.

Tergantung. Dalam beberapa kasus sederhana dengan data terdistribusi normal, ketika Anda memiliki frequentist interval kepercayaan didasarkan pada -Distribusi, yang sesuai posterior marginal dari analisis Bayesian akan menjadi bergeser, Rescaled mahasiswa t -Distribusi dengan quantiles cocok dengan batas kepercayaan frequentist, lihat https : //en.wikipedia.org/wiki/Student%27s_t-distribution#Bayesian_inference . Demikian pula, jika Anda memiliki interval kepercayaan berulang untuk beberapa parameter varians σ 2 yang diturunkan melalui distribusi chi-square dari beberapa kuantitas penting seperti S 2 ( n - p ) / σ $t$$t$$\sigma^2$$S^2(n-p)/\sigma^2$, posterior marginal Bayesian yang sesuai akan menjadi "kuadrat rescaled chi-square" (distribusi Gamma terbalik), sekali lagi dengan kuantil yang cocok dengan batas kepercayaan sering (dengan ketentuan bahwa skala non-informatif sebelum digunakan). $\propto 1/\sigma^2$