Melakukan hal yang sama di bawah motivasi buku teks yang kurang formal tetapi lebih "biasa" (yang mungkin lebih intuitif, terutama untuk siswa pemula), kami mencoba untuk memperkirakan variabel diskrit dengan yang berkelanjutan. Kita dapat membuat versi kontinu dari binomial dengan mengganti setiap probabilitas lonjakan tinggi dengan persegi panjang lebar 1 yang berpusat di , memberinya tinggi (lihat persegi panjang biru di bawah; bayangkan satu untuk setiap x- nilai) dan kemudian memperkirakan bahwa dengan kepadatan normal dengan mean dan sd yang sama dengan binomial asli:x p ( x )p ( x )xp ( x )
Area di bawah kotak didekati oleh normal antara dan ; dua bagian yang hampir berbentuk segitiga yang terletak di atas dan di bawah langkah horizontal berdekatan di area tersebut. Sejumlah probabilitas binomial dalam suatu interval akan berkurang menjadi sekumpulan perkiraan ini. (Menggambar diagram seperti ini sering sangat berguna jika tidak jelas apakah Anda perlu naik atau turun 0,5 untuk perhitungan tertentu ... cari nilai binomial mana yang Anda inginkan dalam perhitungan Anda dan lanjutkan dengan untuk setiap.)x - 12x + 1212
Orang dapat memotivasi pendekatan ini secara aljabar menggunakan derivasi [di sepanjang garis De Moivre - lihat di sini atau di sini misalnya] untuk mendapatkan perkiraan normal (meskipun itu dapat dilakukan agak lebih langsung daripada pendekatan De Moivre).
Itu pada dasarnya melanjutkan melalui beberapa perkiraan, termasuk menggunakan perkiraan Stirling pada istilah dan menggunakan untuk mendapatkan itu( nx)log( 1 + x ) ≈ x - x2/ 2
P( X= x ) ≈ 12 πn p ( 1 - p )----------√exp( - ( x - n p )22 n p ( 1 - p ))
yang mengatakan bahwa kerapatan normal dengan rata-rata dan varians pada kira-kira tingginya PMF binomial pada . Di sinilah De Moivre harus pergi.μ = n halσ2= n p ( 1 - p )xx
Jadi sekarang pertimbangkan bahwa kita memiliki perkiraan aturan titik tengah untuk area normal dalam hal ketinggian binomial ... yaitu, untuk , aturan titik tengah mengatakan bahwa dan kami memiliki dari De Moivre bahwa . Membalik itu tentang, .Y∼ N( n p , n p ( 1 - p ) )F( y+ 12) - F( y- 12) = ∫y+ 12y- 12fY( u ) du ≈ fY( y)fY( x ) ≈ P( X= x )P( X= x ) ≈ F( x + 12) - F( x - 12)
[Perkiraan tipe "aturan titik" yang serupa dapat digunakan untuk memotivasi perkiraan lainnya seperti PMF kontinu dengan kepadatan menggunakan koreksi kontinuitas, tetapi orang harus selalu berhati-hati untuk memperhatikan di mana masuk akal untuk memohon perkiraan itu]
Ilustrasi situasi di mana koreksi kontinuitas tidak membantu:
Dalam plot di sebelah kiri (di mana seperti sebelumnya, adalah binomial, adalah perkiraan normal), dan . Dalam plot di sebelah kanan (binomial yang sama tetapi lebih jauh ke ekor), dan begitu - yang merupakan untuk mengatakan bahwa mengabaikan koreksi kontinuitas lebih baik daripada menggunakannya di wilayah ini.XYFX( x ) ≈ FY( x + 12)p ( x ) ≈ FY( x + 12) - FY( x - 12)FX( x ) ≈ FY( x )p ( x ) ≈ FY( x ) - FY( x - 1 )
[1]: Hald, Anders (2007),
"Sejarah Inferensi Statistik Parametrik dari Bernoulli ke Fisher, 1713-1935",
Sumber dan Studi dalam Sejarah Matematika dan Ilmu Pengetahuan Fisika,
Springer-Verlag New York