Apakah ada interpretasi lain untuk distribusi Gamma dengan parameter bentuk non-integer?

Hal ini juga diketahui bahwa variabel acak menjadi Gamma didistribusikan dengan bilangan bulat bentuk parameter setara dengan jumlah kuadrat dari terdistribusi normal variabel acak.$k$$k$

Tapi apa yang bisa saya katakan tentang variabel acak terdistribusi gamma dengan non-integer ? Apakah ada interpretasi lain selain distribusi Gamma?$k$

Jika dan Y ∼ G ( β , 1 ) independen maka X + Y ∼ G ( α + β , 1 ) Secara khusus, jika X ∼ G ( α , 1 ) , didistribusikan dengan distribusi yang sama dengan X 1 + ⋯ + X n ∼ G ( α , $X\sim{\cal G}(\alpha,1)$$Y\sim{\cal G}(\beta,1)$

$$X+Y\sim{\cal G}(\alpha+\beta,1)$$ $X\sim{\cal G}(\alpha,1)$ untuk setiap n ∈ N . (Properti ini disebutpembagian tak terbatas.) Ini berarti bahwa, jika X ∼ G ( α , 1 ) ketika α bukan bilangan bulat, X memiliki distribusi yang sama dengan Y + Z dengan Z yang bebas dari Y dan Y ∼ G ( ⌊ α ⌋ , 1 $$X_1+\cdots+X_n\sim{\cal G}(\alpha,1)\qquad X_i\stackrel{\text{iid}}{\sim}{\cal G}(\alpha/n,1)$$ $n\in\mathbb N$$X\sim{\cal G}(\alpha,1)$$\alpha$$X$$Y+Z$$Z$$Y$ Ini juga menyiratkan bahwa bilangan bulat bernilai α tidak memiliki arti khusus untuk Gammas. $$Y\sim{\cal G}(\lfloor\alpha\rfloor,1)\qquad Z\sim{\cal G}(\alpha-\lfloor\alpha\rfloor,1)$$ $\alpha$

Sebaliknya, jika dengan α < 1 , ia memiliki distribusi yang sama dengan Y U 1 / α ketika Y tidak tergantung dari U ∼ U ( 0 , 1 ) dan Y ∼ G ( α + 1 , 1 ) Dan karenanya distribusi G ( α , 1 ) tidak berubah dalam X ∼ $X\sim{\cal G}(\alpha,1)$$\alpha<1$$YU^{1/\alpha}$$Y$$U\sim{\cal U}(0,1)$

$$Y\sim{\cal G}(\alpha+1,1)$$ ${\cal G}(\alpha,1)$ $$X \sim (X'+\xi)U^{1/\alpha}\qquad X,X'\sim{\cal G}(\alpha,1)\quad U\sim{\cal U}(0,1)\quad \xi\sim{\cal E}(1)$$