Perbandingan antara penaksir Bayes

1. Pertimbangkan kerugian kuadratik , dengan diberikan sebelumnya mana . Misalkan kemungkinan. Temukan estimator Bayes .$L(\theta,\delta)=(\theta-\delta)^2$$\pi(\theta)$$\pi(\theta)\sim U(0,1/2)$$f(x|\theta)=\theta x^{\theta-1}\mathbb{I}_{[0,1]}(x), \theta>0$$\delta^\pi$

2. Pertimbangkan kehilangan kuadratik tertimbang mana dengan prior . Biarkan menjadi kemungkinannya. Temukan estimator Bayes .$L_w(\theta,\delta)=w(\theta)(\theta-\delta)^2$$w(\theta)=\mathbb{I}_{(-\infty,1/2)}$$\pi_1(\theta)=\mathbb{I}_{[0,1]}(\theta)$$f(x|\theta)=\theta x^{\theta-1}\mathbb{I}_{[0,1]}(x), \theta>0$$\delta^\pi_1$

3. Bandingkan dan$\delta^\pi$$\delta^\pi_1$

Pertama saya perhatikan bahwa , dan saya berasumsi bahwa itu adalah kemungkinannya, kalau tidak saya tidak mendapatkan posterior, maka sehingga estimator Bayes sehubungan dengan kerugian kuadratik adalah $f(x|\theta)\sim Beta(\theta,1)$

$$\pi(\theta|x)\propto f(x|\theta)\pi(\theta)=\theta x^{\theta-1}\mathbb{I}_{[0,1]}*2\mathbb{I}_{(0,1/2)}(\theta)\sim Beta(\theta,1)$$ $$\mathbb{E}[\pi(\theta|x)]=\frac{\theta}{\theta+1}$$

Saya mencari di buku The Bayesian Choice dan ada teorema tentang estimator Bayes yang terkait dengan kerugian kuadratik tertimbang dan diberikan oleh

$$\delta^\pi(x)=\frac{\mathbb{E}^\pi[w(\theta)\theta|x]}{\mathbb{E}^\pi[w(\theta)|x]}$$

Bisakah seseorang menjelaskan kepada saya bagaimana saya menghitungnya?

Apa yang saya coba adalah:

$$\delta^\pi(x)=\frac{\frac{\int \theta w(\theta)f(x|\theta)\pi(\theta)d\theta}{\int w(\theta)f(x|\theta)\pi(\theta)d\theta}}{\frac{\int f(x|\theta)\pi(\theta)d\theta}{\int w(\theta)f(x\theta)\pi(\theta)d\theta}}$$

Saya tahu bahwa dukungannya adalah , tetapi ketika saya mencoba mengintegrasikannya dalam pembilang$[0,\frac{1}{2}]$

$$\int \theta w(\theta)f(x|\theta)\pi(\theta)d\theta=\int_0^\frac{1}{2}\theta\theta x^{\theta-1}d\theta=\frac{1}{x}\int_0^\frac{1}{2}\theta^2 x^\theta d\theta$$

Saya tidak mendapatkan hasil yang baik.

Pertama, perhatikan bahwa saya mengoreksi kata-kata asli dari pertanyaan dengan fungsi indikator dalam definisi kemungkinan Anda karena mereka harus fungsi bukan . Karena itu kemungkinannya adalah yang jelas berintegrasi menjadi satu:$x$$\theta$

$$f(x)=\theta x^{\theta-1}\mathbb{I}_{[0,1]}(x)$$ $$\int_0^1 \theta x^{\theta-1}\text{d}x = 1$$

Kedua, posterior di bukan fungsi Beta karena seperti yang ditunjukkan oleh Greenparker Karena kendala pada nilai-nilai itu bukan distribusi Gamma juga, tetapi pemotongan dari distribusi Gamma.$\theta$

$$\pi(\theta|x)\propto\, \mathbb{I}_{[0,1/2]}(\theta)\theta x^{\theta-1}\propto \mathbb{I}_{[0,1/2]}(\theta)\,\theta \exp\{\log(x)\theta\}$$ $\theta$

Karenanya estimator Bayes adalah ekspektasi posterior yang tampaknya membutuhkan penggunaan fungsi Gamma yang tidak lengkap tetapi yang dapat diturunkan dalam bentuk tertutup dengan integrasi oleh bagian: since

$$\begin{align*}\mathbb{E}[\theta|x] &= \int_0^{1/2} \theta\times\theta \exp\{\log(x)\theta\}\text{d}\theta \Big/ \int_0^{1/2} \theta \exp\{\log(x)\theta\}\text{d}\theta\\&= \int_0^{1/2} \theta^2 \exp\{\log(x)\theta\}\text{d}\theta \Big/ \int_0^{1/2} \theta \exp\{\log(x)\theta\}\text{d}\theta\\\end{align*}$$ $$\int_0^{1/2} \theta^k \exp\{-\alpha\theta\}\text{d}\theta = \frac{-1}{\alpha}\left[\theta^k \exp\{-\alpha\theta\}\right]_0^{1/2} + \frac{k}{\alpha}\int_0^{1/2} \theta^{k-1} \exp\{-\alpha\theta\}\text{d}\theta$$ $$\int_0^{1/2} \exp\{-\alpha\theta\}\text{d}\theta = \frac{1-\exp\{-\alpha/2\}}{\alpha}$$

Terakhir, seperti yang ditunjukkan dalam buku saya , memang, meminimalkan dalam sama dengan meminimalkan dalam yang itu sendiri sama dengan meminimalkan dalam yang berarti mengganti prior asli dengan sebelumnya yang baru yang perlu dinormalisasi menjadi kepadatan, yaitu, $\delta$

$$\int w(\theta)(\theta-\delta)^2 \pi(\theta|x) \text{d}\theta$$ $\delta$ $$\int w(\theta)(\theta-\delta)^2 \pi(\theta)f(x|\theta) \text{d}\theta$$ $\delta$ $$\int (\theta-\delta)^2 w(\theta)\pi(\theta)f(x|\theta) \text{d}\theta$$ $\pi$$w(\theta)\pi(\theta)$ $$\pi_1(\theta)=w(\theta)\pi(\theta) \Big/\int w(\theta)\pi(\theta)\text{d}\theta$$

Jawaban Anda untuk bagian kehilangan kesalahan kuadrat salah.

$$\pi(\theta|x) \propto f(x|\theta) \pi(\theta) = 2\theta x^{\theta-1}I_{(0,1/2)}(\theta).$$

Ini adalah distribusi dalam , bukan dalam , dan variabel acak di posterior adalah . Jadi jawaban Anda salah, dan jawaban yang benar akan menjadi posterior mean dari distribusi itu.$Beta(\theta,1)$$x$$\theta$$\theta$

Untuk bagian kedua,

(Sebelum untuk fungsi penurunan tertimbang adalah tetapi Anda menyebutnya sebagai . Saya mengalihkan notasi kembali ke .)$\pi_1$$\pi$$\pi_1$

Biarkan , di mana adalah konstanta normalisasi. Anda harus menghitung$\pi'(\theta) = cw(\theta) \pi_1(\theta)$$c$

$$\begin{align*} \delta^{\pi_1}(x) & = \dfrac{E^{\pi_1}[w(\theta) \theta |x ]}{E^{\pi_1}[w(\theta|x)]}\\ & = \dfrac{\int w(\theta) \theta f(x|\theta) \pi_1(\theta)\, d\theta}{\int w(\theta) f(x|\theta)\pi_1(\theta)\, d\theta}\\ & = \dfrac{\int \theta f(x|\theta) \pi'(\theta) \,d\theta}{\int f(x|\theta) \pi'(\theta) \, d\theta}\\ & = E^{\pi'}[\theta|x] \end{align*}$$

Jadi, untuk fungsi kerugian kuadrat terkecil tertimbang, teorema mengatakan bahwa estimasi Bayes adalah rata-rata posterior sehubungan dengan sebelumnya yang berbeda. Yang sebelumnya adalah

$$\pi'(\theta) \propto w(\theta) \pi_1(\theta).$$

Konstanta normalisasi adalah .$\int_{\theta} w(\theta) \pi(\theta) d\theta = E_{\pi_1}[w(\theta)]$

$$\begin{align*} E_{\pi_1}[w(\theta)] & = \int_{0}^{1/2} I_{0,1}(\theta) d(\theta) = \frac{1}{2}. \end{align*}$$

Jadi yang sebelumnya adalah . Ini sama dengan yang Anda miliki pada pertanyaan pertama.$\pi'(\theta) = 2I_{(0,1/2)}(\theta)$

Dengan demikian jawaban untuk skenario (apa pun itu) akan sama. Anda dapat menemukan integral di sini . Meskipun, itu mungkin cukup untuk memperbaiki bentuk jawaban, dan tidak menyelesaikan integral.