Interval tumpang tindih acak

Bagaimana saya bisa menemukan ekspresi analitik dalam masalah berikut?$D(n,l,L)$

Saya secara acak menjatuhkan "bar" dengan panjang l ke dalam interval [ 0 , L ] . "Bar" bisa tumpang tindih. Saya ingin mencari panjang total rata-rata D dari interval [ 0 , L ] yang ditempati oleh setidaknya satu "bar".$n$$l$$[0,L]$$D$$[0,L]$

Dalam batas "kepadatan rendah", tumpang tindih harus diabaikan dan . Dalam "high-density" batas, D mendekati L . Tetapi bagaimana saya bisa mendapatkan ekspresi umum untuk D ? Itu seharusnya menjadi masalah statistik yang cukup mendasar, tetapi saya tidak dapat menemukan solusi penjelasan di forum.$D = n\cdot l$$D$$L$$D$

Bantuan apa pun akan sangat dihargai.

Perhatikan bahwa bilah dijatuhkan benar-benar acak (tidak tergantung statistik) satu sama lain.

| ---------------- || ---------------- | -------------- --------------------- | ---------------- || ---------- ------ |

$x_0 - l/2\ \ \ \ \ x_0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_0 + l/2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_0+L - l/2 \ \ \ \ x_0+L \ \ \ \ x_0 + L + l/2$

Probabilitas suatu titik dalam untuk ditempati oleh satu bar yang dijatuhkan adalah$[x_0,x_0 + L]$

$x \in [x_0, x_0 + l/2): \ P_{o} = \frac{1}{L}(x-x_0+l/2)$

$x \in [x_0 + l/2, x_0 + L - l/2]: \ P_{o} = \frac{l}{L}$

$x \in (x_0 + L - l/2, x_0 + L]: \ P_{o} = \frac{1}{L}(-x+x_0+l/2+L)$

$P_{e} = 1 - P_o$$n$$P_e^{n}$

$P_{o,n} = 1 - (1-P_o)^n = 1- (1-\frac{nP_o}{n})^n \approx 1 - e^{-nP_o}$

$n$

$[x_0,x_0 + L]$$n$

$\langle D \rangle = L\langle P_{o,n} \rangle = \int_{x_0}^{x_0+L} P_{o,n}dx$