Varians dalam memperkirakan p untuk distribusi binomial

bagaimana saya bisa menghitung varian p yang diturunkan dari distribusi binomial? Katakanlah saya melempar koin dan mendapatkan kepala. Saya dapat memperkirakan p sebagai k / n, tetapi bagaimana saya bisa menghitung varians dalam perkiraan itu?

Saya tertarik pada hal ini sehingga saya dapat mengontrol varians dalam perkiraan rasio saya ketika saya membandingkan antara poin dengan jumlah percobaan yang berbeda. Saya lebih yakin tentang estimasi p ketika n lebih besar, jadi saya ingin dapat memodelkan seberapa andal estimasi tersebut.

Terima kasih sebelumnya!

contoh:

40/100. MLE p akan menjadi 0,4, tetapi apa varians dalam p?
4/10. MLE akan tetap 0,4, tetapi perkiraannya kurang dapat diandalkan, sehingga harus ada lebih banyak perbedaan dalam hal.

probability variance binomial Jautis
sumber

Jawaban:

Jika $X$ adalah $\text{Binomial}(n, p)$ lalu MLE dari $p$ adalah $\hat{p} = X/n$ .

Variabel binomial dapat dianggap sebagai jumlah $n$ Variabel acak Bernoulli. mana . $X = \sum_{i=1}^n Y_i$ $Y_i\sim\text{Bernoulli}(p)$

jadi kita bisa menghitung varians dari MLE sebagai $\hat{p}$

\begin{aligned} Var [\hat{hal}] & = Var [\frac{1}{n} \sum_{saya = 1}^{n} Y_{saya}] \\ = \frac{1}{n^{2}} \sum_{saya = 1}^{n} V Sebuah r [Y_{saya}] \\ = \frac{1}{n^{2}} \sum_{saya = 1}^{n} hal (1 - hal) \\ = \frac{hal (1 - hal)}{n} \end{aligned}

$\begin{align*} \text{Var}[\hat{p}] &= \text{Var}\left[\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n Y_i\right]\\ &= \dfrac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n Var[Y_i]\\ &= \dfrac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n p(1-p)\\ &= \dfrac{p(1-p)}{n} \end{align*}$

Jadi Anda dapat melihat bahwa varians MLE semakin kecil untuk besar , dan juga lebih kecil untuk mendekati 0 atau 1. Dalam hal dimaksimalkan ketika . $n$ $p$ $p$ $p=0.5$

Untuk beberapa interval kepercayaan, Anda dapat memeriksa Interval Keyakinan Binomial

bdeonovic
sumber

Saya pikir tautannya mirip dengan yang saya cari, tetapi saya ingin nilai yang setara dengan varian p. Bagaimana saya bisa mendapatkannya dari interval kepercayaan?

Jautis

Saya mengedit jawaban asli saya untuk lebih dekat menjawab pertanyaan Anda.

bdeonovic

Bagaimana Anda menangani bahwa rumus varians membutuhkan p tetapi Anda hanya memiliki estimasi p?

Ramon Martinez

Anda dapat mempertimbangkan untuk menggunakan transformasi penstabil varian seperti

a r c s i n (\sqrt{\hat{p}})

$arcsin(\sqrt{\hat{p}})$ dan kemudian Anda mendapatkan bahwa varians dari variabel yang diubah adalah

\frac{1}{4 n}

$\tfrac{1}{4n}$

bdeonovic